За круглый стол на пять стульев в случайном порядке рассаживаются три мальчика и две девочки. Найдите вероятность того что между двумя девочками будет сидеть один мальчик

Чтобы решить задачу, давайте сначала определим, что у нас есть: три мальчика и две девочки. Мы хотим найти вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик.

Шаг 1: Общее количество способов рассадить участников

Рассмотрим, что за круглый стол у нас 5 стульев. Мы можем рассадить всех участников (3 мальчика и 2 девочки) в любом порядке. Для того, чтобы не учитывать различные повороты стола, мы зафиксируем одного из участников.

После фиксации одного участника (например, одного мальчика), у нас остаются 4 участника, которых нужно разместить на 4 местах. Общее количество способов рассадить 4 участников равно \(4!\): \[ 4! = 24. \] Таким образом, общее количество способов рассадить всех 5 участников равно: \[ 3! \times 4! = 6 \times 24 = 144, \] где \(3!\) – количество способов выбрать, какого мальчика зафиксировать.

Шаг 2: Количество благоприятных исходов

Теперь рассчитаем количество способов рассадить участников так, чтобы между двумя девочками был ровно один мальчик.

1. Рассмотрим исход с фиксированным порядком девочек и одного мальчика между ними.
   Предположим, что у нас есть порядок: девочка (Д), мальчик (М), девочка (Д). Это фиксирует мальчика между девочками:

   • Порядок (ДМД) можно переставить в рамках оставшихся 2 мальчиков.

2. Позиционируем остальных мальчиков.
   Остальные два мальчика могут занять два оставшихся места (всего у нас 5 мест):

   • Возможные позиции для остальных двух мальчиков относятся к 2 свободным местам (М или 2-й М):

3. Изменение порядка внутри частей.
   Сначала рассаживаем девочек и одного мальчика, потом остальных мальчиков. Мальчиков можно расположить в свободные места разными способами.

Возможные расположения:

• (Д, М, Д) и затем два мальчика на свободные места. Расположение назначаются как два места для мальчиков остаются свободными, а также надо учитывать, что порядок выбираем из 3!

Подсчет:

• Для девочек существует \(2!\) (поскольку 2 способа их расположить)
• Дальше мальчики могут занимать оставшиеся \(3!\) - их порядок также учитывать.

Теперь рассчитаем число благоприятных исходов:

\[ (2!) (3!) = 2 \times 6 = 12. \]

Шаг 3: Вероятность

Теперь мы знаем общее количество исходов (144) и благоприятные исходы (12). Вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик, определяется как:

\[ P = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{12}{144} = \frac{1}{12}. \]

Ответ

Вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик, равна \(\frac{1}{12}\).