За круглый стол на пять стульев в случайном порядке рассаживаются три мальчика и две девочки. Найдите вероятность того что между двумя девочками будет сидеть один мальчик

Чтобы решить задачу, давайте сначала определим, что у нас есть: три мальчика и две девочки. Мы хотим найти вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик. ### Шаг 1: Общее количество способов рассадить участников Рассмотрим, что за круглый стол у нас 5 стульев. Мы можем рассадить всех участников (3 мальчика и 2 девочки) в любом порядке. Для того, чтобы не учитывать различные повороты стола, мы зафиксируем одного из участников. После фиксации одного участника (например, одного мальчика), у нас остаются 4 участника, которых нужно разместить на 4 местах. Общее количество способов рассадить 4 участников равно \(4!\): \[ 4! = 24. \] Таким образом, общее количество способов рассадить всех 5 участников равно: \[ 3! \times 4! = 6 \times 24 = 144, \] где \(3!\) – количество способов выбрать, какого мальчика зафиксировать. ### Шаг 2: Количество благоприятных исходов Теперь рассчитаем количество способов рассадить участников так, чтобы между двумя девочками был ровно один мальчик. 1. **Рассмотрим исход с фиксированным порядком девочек и одного мальчика между ними.** Предположим, что у нас есть порядок: девочка (Д), мальчик (М), девочка (Д). Это фиксирует мальчика между девочками: - Порядок (ДМД) можно переставить в рамках оставшихся 2 мальчиков. 2. **Позиционируем остальных мальчиков.** Остальные два мальчика могут занять два оставшихся места (всего у нас 5 мест): - Возможные позиции для остальных двух мальчиков относятся к 2 свободным местам (М или 2-й М): 3. **Изменение порядка внутри частей.** Сначала рассаживаем девочек и одного мальчика, потом остальных мальчиков. Мальчиков можно расположить в свободные места разными способами. Возможные расположения: - **(Д, М, Д)** и затем два мальчика на свободные места. Расположение назначаются как два места для мальчиков остаются свободными, а также надо учитывать, что порядок выбираем из 3! ### Подсчет: - Для девочек существует \(2!\) (поскольку 2 способа их расположить) - Дальше мальчики могут занимать оставшиеся \(3!\) - их порядок также учитывать. Теперь рассчитаем число благоприятных исходов: \[ (2!) (3!) = 2 \times 6 = 12. \] ### Шаг 3: Вероятность Теперь мы знаем общее количество исходов (144) и благоприятные исходы (12). Вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик, определяется как: \[ P = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{12}{144} = \frac{1}{12}. \] ### Ответ Вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик, равна \(\frac{1}{12}\).