Для нахождения площади прямоугольного треугольника нужно использовать формулу:
[
\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times a \times b,
]
где ( a ) и ( b ) — длины катетов треугольника.
В данном случае известно, что один из катетов равен 10, и угол напротив него равен 60°. Это означает, что мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения второго катета.
Обозначим:
- ( a = 10 ) (катет)
- ( \alpha = 60^\circ ) (угол между катетом и гипотенузой)
Мы можем найти второй катет с помощью функции синуса. Для прямоугольного треугольника:
[
\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}.
]
Но для данного случая нам нужен катет, лежащий рядом с углом 60°. Мы знаем, что:
[
\cos(\alpha) = \frac{\text{примыкающий катет}}{\text{гипотенуза}}.
]
Гипотенуза в данном случае равна ( \frac{a}{\sin(60°)} ), следовательно:
[
h = 10 \cdot \tan(60°),
]
где ( \tan(60°) = \sqrt{3} ).
Теперь вычислим второй катет:
[
b = a \cdot \tan(60) = 10 \cdot \sqrt{3}.
]
Теперь, зная оба катета, мы можем найти площадь треугольника:
[
\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 10 \times (10 \cdot \sqrt{3}) = \frac{1}{2} \times 100\sqrt{3} = 50\sqrt{3}.
]
Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника равна ( 50\sqrt{3} ) квадратных единиц.
