Артём составляет пятибуквенные слова из букв своего имени. Он ввёл два правила: не повторять буквы в одном слове и не ставить гласные первыми и последними одновременно. Сколько…
Артём составляет пятибуквенные слова из букв своего имени. Он ввёл два правила: не повторять буквы в одном слове и не ставить гласные первыми и последними одновременно. Сколько таких слов может составить Артём?
Для решения задачи сначала проанализируем имя "Артём". В нём 5 букв: А, р, т, ё, м. Из них гласные – А и ё, а согласные – р, т, м.
Шаг 1: Определение общего количества пятибуквенных слов
Артём может составить слова, соблюдая два правила. Первое правило – не повторять буквы. Второе правило – не ставить гласные (А и ё) первыми и последними одновременно.
Если бы не было никаких ограничений, количество различных пятибуквенных слов из 5 букв можно вычислить по формуле факториала: \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]
Однако поскольку у нас есть правила, нужно рассмотреть два случая – когда первый и последний символ не являются гласными одновременно.
Шаг 2: Рассмотрение правил
Случай 1: Первая буква – согласная.
В этом случае мы можем выбрать одну из 3 согласных (р, т, м) для первой позиции. После выбора первой буквы остаются 4 буквы для размещения во вторых, третьих и четвёртых позициях.
Количество способов выбрать первую букву (согласную): \[ 3 \text{ (р, т, м)} \]
Теперь для оставшихся 4 букв (2 гласные и 2 согласные) можно расположить их в оставшихся 4 позициях: \[ 4! = 24 \]
Таким образом, общее количество слов для этого случая: \[ 3 \times 24 = 72 \]
Случай 2: Первая буква – гласная.
Если первой буквой является гласная (например, А или ё), то в последней букве также не может быть гласной.
- Если первая буква A, последней буквой может быть только одна из оставшихся согласных (р, т, м) – 3 варианта.
- После выбора первой и последней букв (гласной и согласной) остаются 3 буквы, которые можно разместить во 2-й, 3-й и 4-й позициях.
Общее количество вариантов для первой буквы A: \[ 3 \text{ (выбор согласной на последнюю позицию)} \] \[ 3! = 6 \text{ (порядок оставшихся 3)} \]
Итак, для первой буквы А: \[ 3 \times 6 = 18 \]
Аналогично для первой буквы ё: Снова можно выбрать 3 согласные на последнюю позицию и разместить оставшиеся 3 буквы: \[ 3 \times 6 = 18 \]
Таким образом, общее количество слов для случая, когда первой буквой является гласная: \[ 18 + 18 = 36 \]
Шаг 3: Общий итог
Суммируем количество слов из обоих случаев: \[ 72 \text{ (согласная первой)} + 36 \text{ (гласная первой)} = 108 \]
Таким образом, Артём может составить 108 различных пятбуквенных слов, соблюдая свои правила.
