Чтобы вывести выражение для расчёта потенциала гравитационного поля, создаваемого материальной точкой массой (m), давайте следовать шаг за шагом.
1. Понимание гравитационного потенциала
Гравитационный потенциал ((V)) в точке, находящейся на расстоянии (r) от материальной точки массой (m), можно понимать как работу, которую надо совершить, чтобы переместить единичный законный с бесконечности до точки (r) в гравитационном поле этой массы.
2. Формула для гравитационного поля
Сначала вспомним закон всемирного тяготения, который описывает силу, действующую между двумя массами. Она выражается следующей формулой:
[
F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2}
]
где:
- (F) — сила притяжения,
- (G) — гравитационная постоянная ((G \approx 6.674 \times 10^{-11} , \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2)),
- (m_1) и (m_2) — массы взаимодействующих объектов,
- (r) — расстояние между центрами масс.
В нашем случае мы рассматриваем только одну массу (m) и единицу массы ((m_2 = 1 , \text{кг})), тогда сила будет:
[
F = \frac{G \cdot m}{r^2}
]
3. Определение работы
Работа ((W)), совершённая над единичной массой при перемещении её с бесконечности на расстояние (r), равна интегралу силы по перемещению:
[
W = \int_{\infty}^{r} F , dr
]
4. Подставляем силу
Подставим выражение для силы в уравнение для работы:
[
W = \int_{\infty}^{r} \frac{G \cdot m}{r'^2} , dr'
]
где (r') — переменная интегрирования.
5. Выполнение интегрирования
Выполним интегрирование:
[
W = G \cdot m \int_{\infty}^{r} \frac{1}{r'^2} , dr' = G \cdot m \left[ -\frac{1}{r'} \right]_{\infty}^{r}
]
Так как при (r' \to \infty) значение (-\frac{1}{r'}) стремится к 0, то:
[
W = G \cdot m \left( 0 - \left(-\frac{1}{r}\right) \right) = G \cdot m \cdot \frac{1}{r}
]
6. Определение потенциала
Гравитационный потенциал (V) в точке на расстоянии (r) от массы (m) определяется как произведение работы на единичную массу ((m_2 = 1 , \text{кг})):
[
V = -W = -\frac{G \cdot m}{r}
]
Итоговое выражение
Таким образом, гравитационный потенциал (V), создаваемый материальной точкой массой (m) на расстоянии (r), равен:
[
V(r) = -\frac{G \cdot m}{r}
]
Заключение
Это выражение показывает, что гравитационный потенциал отрицателен и уменьшается с увеличением расстояния от массы. Значение потенциала равно нулю на бесконечности, и оно становится более отрицательным, когда мы приближаемся к массам.
