Выведите выражение для расчёта потенциала гравитационного поля создаваемого материальной точкой массой m. Считайте, что значение потенциала бесконечно удалённой точат равно нулю.…

Чтобы вывести выражение для расчёта потенциала гравитационного поля, создаваемого материальной точкой массой \(m\), давайте следовать шаг за шагом.

1. Понимание гравитационного потенциала

Гравитационный потенциал (\(V\)) в точке, находящейся на расстоянии \(r\) от материальной точки массой \(m\), можно понимать как работу, которую надо совершить, чтобы переместить единичный законный с бесконечности до точки \(r\) в гравитационном поле этой массы.

2. Формула для гравитационного поля

Сначала вспомним закон всемирного тяготения, который описывает силу, действующую между двумя массами. Она выражается следующей формулой:

\[ F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} \]

где:

• \(F\) — сила притяжения,
• \(G\) — гравитационная постоянная (\(G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\)),
• \(m_1\) и \(m_2\) — массы взаимодействующих объектов,
• \(r\) — расстояние между центрами масс.

В нашем случае мы рассматриваем только одну массу \(m\) и единицу массы (\(m_2 = 1 \, \text{кг}\)), тогда сила будет:

\[ F = \frac{G \cdot m}{r^2} \]

3. Определение работы

Работа (\(W\)), совершённая над единичной массой при перемещении её с бесконечности на расстояние \(r\), равна интегралу силы по перемещению:

\[ W = \int_{\infty}^{r} F \, dr \]

4. Подставляем силу

Подставим выражение для силы в уравнение для работы:

\[ W = \int_{\infty}^{r} \frac{G \cdot m}{r'^2} \, dr' \]

где \(r'\) — переменная интегрирования.

5. Выполнение интегрирования

Выполним интегрирование:

\[ W = G \cdot m \int_{\infty}^{r} \frac{1}{r'^2} \, dr' = G \cdot m \left[ -\frac{1}{r'} \right]_{\infty}^{r} \]

Так как при \(r' \to \infty\) значение \(-\frac{1}{r'}\) стремится к 0, то:

\[ W = G \cdot m \left( 0 - \left(-\frac{1}{r}\right) \right) = G \cdot m \cdot \frac{1}{r} \]

6. Определение потенциала

Гравитационный потенциал \(V\) в точке на расстоянии \(r\) от массы \(m\) определяется как произведение работы на единичную массу (\(m_2 = 1 \, \text{кг}\)):

\[ V = -W = -\frac{G \cdot m}{r} \]

Итоговое выражение

Таким образом, гравитационный потенциал \(V\), создаваемый материальной точкой массой \(m\) на расстоянии \(r\), равен:

\[ V(r) = -\frac{G \cdot m}{r} \]

Заключение

Это выражение показывает, что гравитационный потенциал отрицателен и уменьшается с увеличением расстояния от массы. Значение потенциала равно нулю на бесконечности, и оно становится более отрицательным, когда мы приближаемся к массам.