Чтобы вычислить производную функции ( y = \frac{(x+4)^{1/2}}{4x} ), воспользуемся правилом частного. Правило частного гласит, что если ( y = \frac{u}{v} ), то производная ( y' ) равна:
[
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
]
Здесь ( u = (x+4)^{1/2} ) и ( v = 4x ).
Сначала найдём производные ( u' ) и ( v' ):
Для ( u = (x+4)^{1/2} ) используем правило дифференцирования степенной функции:
[
u' = \frac{1}{2}(x+4)^{-1/2} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+4}}
]
Для ( v = 4x ):
[
v' = 4
]
Теперь подставим ( u ), ( v ), ( u' ) и ( v' ) в формулу для производной:
[
y' = \frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x+4}}\right)(4x) - (x+4)^{1/2}(4)}{(4x)^2}
]
Упростим числитель:
[
y' = \frac{2x}{\sqrt{x+4}} - 4\sqrt{x+4}
]
Теперь объединяем под общий знаменатель:
[
y' = \frac{2x - 4(x+4)}{\sqrt{x+4}(4x)} = \frac{2x - 4x - 16}{\sqrt{x+4}(4x)} = \frac{-2x - 16}{\sqrt{x+4}(4x)}
]
Итак, производная ( y' ) равна:
[
y' = \frac{-2(x + 8)}{\sqrt{x + 4}(4x)} = \frac{-2(x + 8)}{4x\sqrt{x + 4}} = \frac{-(x + 8)}{2x\sqrt{x + 4}}
]
Таким образом, искомая производная:
[
f'(x) = \frac{-(x + 8)}{2x\sqrt{x + 4}}
]
