вычислить f’(x): y=(x+4)1/2 /4x
Чтобы вычислить производную функции \( y = \frac{(x+4)^{1/2}}{4x} \), воспользуемся правилом частного. Правило частного гласит, что если \( y = \frac{u}{v} \), то производная \( y' \) равна:
\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
Здесь \( u = (x+4)^{1/2} \) и \( v = 4x \).
Сначала найдём производные \( u' \) и \( v' \):
Для \( u = (x+4)^{1/2} \) используем правило дифференцирования степенной функции: \[ u' = \frac{1}{2}(x+4)^{-1/2} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+4}} \]
Для \( v = 4x \): \[ v' = 4 \]
Теперь подставим \( u \), \( v \), \( u' \) и \( v' \) в формулу для производной:
\[ y' = \frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x+4}}\right)(4x) - (x+4)^{1/2}(4)}{(4x)^2} \]
Упростим числитель:
\[ y' = \frac{2x}{\sqrt{x+4}} - 4\sqrt{x+4} \]
Теперь объединяем под общий знаменатель:
\[ y' = \frac{2x - 4(x+4)}{\sqrt{x+4}(4x)} = \frac{2x - 4x - 16}{\sqrt{x+4}(4x)} = \frac{-2x - 16}{\sqrt{x+4}(4x)} \]
Итак, производная \( y' \) равна:
\[ y' = \frac{-2(x + 8)}{\sqrt{x + 4}(4x)} = \frac{-2(x + 8)}{4x\sqrt{x + 4}} = \frac{-(x + 8)}{2x\sqrt{x + 4}} \]
Таким образом, искомая производная:
\[ f'(x) = \frac{-(x + 8)}{2x\sqrt{x + 4}} \]
