На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD . Точки K K , L L , M M , N N — середины его сторон. Найди вероятность, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет…

Для решения задачи о вероятности того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать четырёхугольнику AMCK, начнём с анализа геометрической ситуации.

Шаг 1: Определение геометрических фигур.

1. Рассмотрим прямоугольник ABCD:

   • Пусть AB — верхняя сторона, BC — правая, CD — нижняя, DA — левая.
   • Если обозначить длину AB как \( a \) и длину BC как \( b \), тогда:
     • \( A (0, 0) \)
     • \( B (a, 0) \)
     • \( C (a, b) \)
     • \( D (0, b) \)

2. Вычислим координаты точек K, L, M и N:

   • \( K \) — середина стороны AB: \( K \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \)
   • \( L \) — середина стороны BC: \( L \left( a, \frac{b}{2} \right) \)
   • \( M \) — середина стороны CD: \( M \left( \frac{a}{2}, b \right) \)
   • \( N \) — середина стороны DA: \( N \left( 0, \frac{b}{2} \right) \)

Шаг 2: Найдем площадь четырехугольника AMCK.

Четыре точки, определяющие четырехугольник AMCK, имеют следующие координаты:

• \( A (0, 0) \)
• \( M \left( \frac{a}{2}, b \right) \)
• \( C (a, b) \)
• \( K \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \)

Чтобы вычислить площадь четырехугольника, мы можем разбить его на два треугольника: треугольник AMK и треугольник MCK.

Площадь треугольника AMK.

• Вершины: \( A (0, 0), M \left( \frac{a}{2}, b \right), K \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \)

Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|, \] где \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \) — координаты вершин треугольника.

Подставляем значения: \[ S_{AMK} = \frac{1}{2} \left| 0 \left(b - 0\right) + \frac{a}{2}(0 - 0) + \frac{a}{2}(0 - b) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 - \frac{ab}{2} \right| = \frac{ab}{4}. \]

Площадь треугольника MCK.

• Вершины: \( M \left( \frac{a}{2}, b \right), C (a, b), K \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \)

Теперь считаем площадь: \[ S_{MCK} = \frac{1}{2} \left| \frac{a}{2}(b - 0) + a(0 - b) + \frac{a}{2}(b - b) \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{2} - ab + 0 \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{ab}{2} \right| = \frac{ab}{4}. \]

Шаг 3: Общая площадь четырехугольника AMCK. \[ S_{AMCK} = S_{AMK} + S_{MCK} = \frac{ab}{4} + \frac{ab}{4} = \frac{ab}{2}. \]

Шаг 4: Находим площадь прямоугольника ABCD. Площадь прямоугольника ABCD: \[ S_{ABCD} = a \cdot b. \]

Шаг 5: Вероятность того, что случайно выбранная точка будет принадлежать AMCK. Вероятность вычисляется как отношение площади четырехугольника AMCK к площади всего прямоугольника ABCD: \[ P(точка \in AMCK) = \frac{S_{AMCK}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{2}}{ab} = \frac{1}{2}. \]

Ответ: Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырёхугольнику AMCK, равна \( \frac{1}{2} \) или 50%.