Диагональ прямоугольника равна 10см, а его периметр равен 28см. Найдите площадь прямоугольника.

Чтобы найти площадь прямоугольника с заданной диагональю и периметром, можно использовать следующие формулы и шаги.

Данные:

• Диагональ \(d = 10 \, \text{см}\)
• Периметр \(P = 28 \, \text{см}\)

Шаг 1: Обозначим стороны прямоугольника

Обозначим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\).

Шаг 2: Сформулируем уравнения

Периметр прямоугольника выражается через его стороны: \[ P = 2(a + b) = 28 \implies a + b = 14 \]

Согласно теореме Пифагора, диагональ прямоугольника связана со сторонами следующим образом: \[ d^2 = a^2 + b^2 \implies 10^2 = a^2 + b^2 \implies a^2 + b^2 = 100 \]

Шаг 3: Решим систему уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \(a + b = 14\)
2. \(a^2 + b^2 = 100\)

Шаг 4: Подставим \(b\) из первого уравнения во второе

Из первого уравнения можем выразить \(b\): \[ b = 14 - a \] Подставляем это значение во второе уравнение: \[ a^2 + (14 - a)^2 = 100 \]

Шаг 5: Раскроем скобки и упростим

\[ a^2 + (14 - a)(14 - a) = 100 \] \[ a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100 \] \[ 2a^2 - 28a + 196 = 100 \] \[ 2a^2 - 28a + 96 = 0 \] Теперь упростим уравнение: \[ a^2 - 14a + 48 = 0 \]

Шаг 6: Найдем корни уравнения

Решим квадратное уравнение, используя дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4 \] Корни уравнения найдём по формуле: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 2}{2} \] \[ a_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad a_2 = \frac{12}{2} = 6 \]

Таким образом, у нас есть два случая:

1. \(a = 8\), \(b = 6\)
2. \(a = 6\), \(b = 8\)

Шаг 7: Найдем площадь

Площадь \(S\) прямоугольника определяется как: \[ S = a \cdot b = 8 \cdot 6 = 48 \, \text{см}^2 \]

Ответ

Площадь прямоугольника равна \(48 \, \text{см}^2\).