Чтобы найти площадь прямоугольника с заданной диагональю и периметром, можно использовать следующие формулы и шаги.
Данные:
- Диагональ (d = 10 , \text{см})
- Периметр (P = 28 , \text{см})
Шаг 1: Обозначим стороны прямоугольника
Обозначим стороны прямоугольника как (a) и (b).
Шаг 2: Сформулируем уравнения
Периметр прямоугольника выражается через его стороны:
[
P = 2(a + b) = 28 \implies a + b = 14
]
Согласно теореме Пифагора, диагональ прямоугольника связана со сторонами следующим образом:
[
d^2 = a^2 + b^2 \implies 10^2 = a^2 + b^2 \implies a^2 + b^2 = 100
]
Шаг 3: Решим систему уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- (a + b = 14)
- (a^2 + b^2 = 100)
Шаг 4: Подставим (b) из первого уравнения во второе
Из первого уравнения можем выразить (b):
[
b = 14 - a
]
Подставляем это значение во второе уравнение:
[
a^2 + (14 - a)^2 = 100
]
Шаг 5: Раскроем скобки и упростим
[
a^2 + (14 - a)(14 - a) = 100
]
[
a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100
]
[
2a^2 - 28a + 196 = 100
]
[
2a^2 - 28a + 96 = 0
]
Теперь упростим уравнение:
[
a^2 - 14a + 48 = 0
]
Шаг 6: Найдем корни уравнения
Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4
]
Корни уравнения найдём по формуле:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 2}{2}
]
[
a_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad a_2 = \frac{12}{2} = 6
]
Таким образом, у нас есть два случая:
- (a = 8), (b = 6)
- (a = 6), (b = 8)
Шаг 7: Найдем площадь
Площадь (S) прямоугольника определяется как:
[
S = a \cdot b = 8 \cdot 6 = 48 , \text{см}^2
]
Ответ
Площадь прямоугольника равна (48 , \text{см}^2).
