Бабушка в честь приезда внуков напекла пирожки, их количество равно 15 шт., из которых с повидлом 4 шт. Х — количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных. Найди…

Для решения задачи о дисперсии случайной величины \( X \), которая равна количеству пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных пирожков, нам понадобится использовать формулы дискретной вероятности.

1. Определим количество пирожков:

   • Общее количество пирожков: 15 шт.
   • Количество пирожков с повидлом: 4 шт.
   • Количество пирожков без повидла: \( 15 - 4 = 11 \) шт.

2. Событие: Мы будем выбирать 2 пирожка. Возможные значения \( X \) (количество пирожков с повидлом среди выбранных 2) могут быть:

   • \( X = 0 \) (оба пирожка без повидла)
   • \( X = 1 \) (один пирожок с повидлом и один без)
   • \( X = 2 \) (оба пирожка с повидлом)

3. Вероятности для каждого события:

   • Вероятность выбора 0 пирожков с повидлом: \[ P(X = 0) = \frac{\binom{11}{2}}{\binom{15}{2}} = \frac{55}{105} = \frac{11}{21} \approx 0.5238 \]
   • Вероятность выбора 1 пирожка с повидлом: \[ P(X = 1) = \frac{\binom{4}{1} \cdot \binom{11}{1}}{\binom{15}{2}} = \frac{4 \cdot 11}{105} = \frac{44}{105} \approx 0.4190 \]
   • Вероятность выбора 2 пирожков с повидлом: \[ P(X = 2) = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{15}{2}} = \frac{6}{105} = \frac{2}{35} \approx 0.0571 \]

4. Ожидаемое значение \( E(X) \): \[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) \] \[ E(X) = 0 \cdot \frac{11}{21} + 1 \cdot \frac{44}{105} + 2 \cdot \frac{2}{35} = \frac{44}{105} + \frac{4}{35} \] Чтобы сложить дроби, приведём \( \frac{4}{35} \) к общему знаменателю: \[ \frac{4}{35} = \frac{12}{105} \] Теперь можем сложить: \[ E(X) = \frac{44 + 12}{105} = \frac{56}{105} \approx 0.5333 \]

5. Вычисляем дисперсию \( D(X) \): Для дисперсии нам нужно вычислить \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2) \] \[ E(X^2) = 0 \cdot \frac{11}{21} + 1 \cdot \frac{44}{105} + 4 \cdot \frac{2}{35} \] Приведём \( 4 \cdot \frac{2}{35} \) к общему знаменателю: \[ 4 \cdot \frac{2}{35} = \frac{8}{35} = \frac{24}{105} \] Теперь сложим: \[ E(X^2) = \frac{44}{105} + \frac{24}{105} = \frac{68}{105} \approx 0.6476 \]

   Теперь можем найти дисперсию: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] \[ D(X) = \frac{68}{105} - \left(\frac{56}{105}\right)^2 \] \[ D(X) = \frac{68}{105} - \frac{3136}{11025} \] Теперь приведенем обе дроби к общему знаменателю: \[ D(X) = \frac{68 \cdot 105}{11025} - \frac{3136}{11025} = \frac{7140 - 3136}{11025} = \frac{4004}{11025} \]

6. Округляем ответ: После вычислений: \[ D(X) \approx 0.3636 \]

Таким образом, дисперсия случайной величины \( X \) (количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных) равна примерно 0.36 (округлено до сотых).