Пусть дана система уравнений A = {2x₁ − 3x₂ + x₃ = 5, x₁ + x₂ − 3x₃ = 7, 5x₁ − x₂ + 6x₃ = 1, тогда определитель |A₃| этой системы равен
Чтобы найти определитель матрицы системы уравнений, нужно сначала представить систему в виде матрицы. Давайте рассмотрим данную систему уравнений:
\[ \begin{align*} 1. & \quad 2x_1 - 3x_2 + x_3 = 5 \\ 2. & \quad x_1 + x_2 - 3x_3 = 7 \\ 3. & \quad 5x_1 - x_2 + 6x_3 = 1 \\ \end{align*} \]
Сначала составим соответствующую матрицу коэффициентов и свободных членов:
Шаг 1: Составляем матрицу коэффициентов
Матрица коэффициентов (обозначим её \(A\)) будет выглядеть следующим образом:
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \\ 5 & -1 & 6 \\ \end{pmatrix} \]
Шаг 2: Вычисляем определитель
Теперь нам нужно вычислить определитель матрицы \(A\). Определитель \(3 \times 3\) матрицы может быть найден по формуле:
\[ |A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \]
где: \[ A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{pmatrix} \]
Для нашей матрицы \(A\) имеем:
- \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 1\)
- \(d = 1\), \(e = 1\), \(f = -3\)
- \(g = 5\), \(h = -1\), \(i = 6\)
Теперь подставим значения:
\[ |A| = 2(1 \cdot 6 - (-3)(-1)) - (-3)(1 \cdot 6 - (-3)(5)) + 1(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 5) \]
Шаг 3: Упрощаем каждое из выражений
Сначала считаем \(ei - fh\): \[ 1 \cdot 6 - (-3)(-1) = 6 - 3 = 3 \]
Теперь считаем \(-3(di - fg)\): \[ 1 \cdot 6 - (-3)(5) = 6 + 15 = 21 \quad \Rightarrow \quad -3 \cdot 21 = -63 \]
Теперь считаем \(dh - eg\): \[ 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 5 = -1 - 5 = -6 \]
Собираем все части в определителе:
\[ |A| = 2 \cdot 3 + 63 + (-6) = 6 + 63 - 6 = 63 \]
Ответ
Определитель данной системы уравнений равен \(\boxed{63}\).
