Найдите все целые значения р, при которых уравнение x^2+рх+10=0 имеет целые корни.

Чтобы найти все целые значения \( p \), при которых уравнение \( x^2 + px + 10 = 0 \) имеет целые корни, воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения. ### Шаг 1: Определим корни уравнения Пусть корни данного уравнения обозначаются как \( a \) и \( b \). По теореме Виета, сумма корней \( a + b = -p \), а произведение корней \( ab = 10 \). ### Шаг 2: Найдем все пары целых чисел, произведение которых равно 10 Мы ищем целые числа \( a \) и \( b \), такие что \( ab = 10 \). Сначала составим все возможные пары чисел: - \( (1, 10) \) - \( (10, 1) \) - \( (2, 5) \) - \( (5, 2) \) - \( (-1, -10) \) - \( (-10, -1) \) - \( (-2, -5) \) - \( (-5, -2) \) Теперь у нас есть 8 пар чисел. ### Шаг 3: Найдем сумму корней и соответствующие значения \( p \) Теперь, для каждой пары корней \( (a, b) \), вычислим \( p \): 1. Для \( (1, 10) \): \( a + b = 1 + 10 = 11 \) \( -p = 11 \) → \( p = -11 \) 2. Для \( (10, 1) \): \( a + b = 10 + 1 = 11 \) \( -p = 11 \) → \( p = -11 \) 3. Для \( (2, 5) \): \( a + b = 2 + 5 = 7 \) \( -p = 7 \) → \( p = -7 \) 4. Для \( (5, 2) \): \( a + b = 5 + 2 = 7 \) \( -p = 7 \) → \( p = -7 \) 5. Для \( (-1, -10) \): \( a + b = -1 - 10 = -11 \) \( -p = -11 \) → \( p = 11 \) 6. Для \( (-10, -1) \): \( a + b = -10 - 1 = -11 \) \( -p = -11 \) → \( p = 11 \) 7. Для \( (-2, -5) \): \( a + b = -2 - 5 = -7 \) \( -p = -7 \) → \( p = 7 \) 8. Для \( (-5, -2) \): \( a + b = -5 - 2 = -7 \) \( -p = -7 \) → \( p = 7 \) ### Шаг 4: Соберем уникальные значения \( p \) В результате мы получили следующие уникальные значения \( p \): - \( -11 \) - \( -7 \) - \( 7 \) - \( 11 \) ### Ответ Таким образом, все целые значения \( p \), при которых уравнение \( x^2 + px + 10 = 0 \) имеет целые корни, это: \[ -11, -7, 7, 11 \]