Найдите все целые значения р, при которых уравнение x^2+рх+10=0 имеет целые корни.

Чтобы найти все целые значения \( p \), при которых уравнение \( x^2 + px + 10 = 0 \) имеет целые корни, воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения.

Шаг 1: Определим корни уравнения

Пусть корни данного уравнения обозначаются как \( a \) и \( b \). По теореме Виета, сумма корней \( a + b = -p \), а произведение корней \( ab = 10 \).

Шаг 2: Найдем все пары целых чисел, произведение которых равно 10

Мы ищем целые числа \( a \) и \( b \), такие что \( ab = 10 \). Сначала составим все возможные пары чисел:

• \( (1, 10) \)
• \( (10, 1) \)
• \( (2, 5) \)
• \( (5, 2) \)
• \( (-1, -10) \)
• \( (-10, -1) \)
• \( (-2, -5) \)
• \( (-5, -2) \)

Теперь у нас есть 8 пар чисел.

Шаг 3: Найдем сумму корней и соответствующие значения \( p \)

Теперь, для каждой пары корней \( (a, b) \), вычислим \( p \):

1. Для \( (1, 10) \):
   \( a + b = 1 + 10 = 11 \)
   \( -p = 11 \) → \( p = -11 \)

2. Для \( (10, 1) \):
   \( a + b = 10 + 1 = 11 \)
   \( -p = 11 \) → \( p = -11 \)

3. Для \( (2, 5) \):
   \( a + b = 2 + 5 = 7 \)
   \( -p = 7 \) → \( p = -7 \)

4. Для \( (5, 2) \):
   \( a + b = 5 + 2 = 7 \)
   \( -p = 7 \) → \( p = -7 \)

5. Для \( (-1, -10) \):
   \( a + b = -1 - 10 = -11 \)
   \( -p = -11 \) → \( p = 11 \)

6. Для \( (-10, -1) \):
   \( a + b = -10 - 1 = -11 \)
   \( -p = -11 \) → \( p = 11 \)

7. Для \( (-2, -5) \):
   \( a + b = -2 - 5 = -7 \)
   \( -p = -7 \) → \( p = 7 \)

8. Для \( (-5, -2) \):
   \( a + b = -5 - 2 = -7 \)
   \( -p = -7 \) → \( p = 7 \)

Шаг 4: Соберем уникальные значения \( p \)

В результате мы получили следующие уникальные значения \( p \):

• \( -11 \)
• \( -7 \)
• \( 7 \)
• \( 11 \)

Ответ

Таким образом, все целые значения \( p \), при которых уравнение \( x^2 + px + 10 = 0 \) имеет целые корни, это:
\[ -11, -7, 7, 11 \]