Найдите радиус окружности, описан- ной около прямоуголь- ника, две стороны ко- торого равны 12 и √145.
Чтобы найти радиус окружности, описанной около прямоугольника, нужно помнить, что радиус этой окружности равен половине диагонали прямоугольника. Сначала найдем длину диагонали с использованием теоремы Пифагора.
Прямоугольник имеет две стороны, одна из которых равна 12, а другая — \(\sqrt{145}\). Мы можем обозначить длины сторон как \(a = 12\) и \(b = \sqrt{145}\).
Шаг 1: Найдем длину диагонали
По теореме Пифагора длина диагонали \(d\) вычисляется следующим образом:
\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Подставим значения сторон:
\[ d = \sqrt{12^2 + (\sqrt{145})^2} \]
Теперь рассчитаем квадрат каждой стороны:
\[ 12^2 = 144 \] \[ (\sqrt{145})^2 = 145 \]
Сложим полученные значения:
\[ d = \sqrt{144 + 145} = \sqrt{289} \]
Теперь найдем корень из 289:
\[ \sqrt{289} = 17 \]
Шаг 2: Найдем радиус окружности
Радиус \(R\) описанной окружности равен половине длины диагонали:
\[ R = \frac{d}{2} = \frac{17}{2} = 8.5 \]
Ответ
Радиус окружности, описанной около данного прямоугольника, равен \(8.5\).
Обсуждение
2 сообщенияВ треугольнике АВС угол С равен 90°, СН — высота, AB = 12, sinA=1/2. Найдите АН.
В данном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\). Высота \(CH\) опущена из вершины \(C\) на сторону \(AB\). Дано \(AB = 12\) и \(\sin A = \frac{1}{2}\).
Шаг 1: Найдем угол \(A\)
Значение \(\sin A = \frac{1}{2}\) соответствует углу \(A = 30^\circ\) (или \(A = 150^\circ\), но в данном случае, потому что треугольник остроугольный, \(A = 30^\circ\)).
Шаг 2: Найдем угол \(B\)
Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\):
\[ B = 90^\circ - A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]
Шаг 3: Найдем длину сторон \(AC\) и \(BC\)
Используем таблицу тригонометрических функций. В треугольнике \(ABC\):
- Сторона \(AC = AB \cdot \sin A\)
- Сторона \(BC = AB \cdot \sin B\)
Теперь подставим известные значения:
- Сторона \(AC\):
\[ AC = AB \cdot \sin A = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \]
- Сторона \(BC\):
\[ BC = AB \cdot \sin B = 12 \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \]
Шаг 4: Найдем высоту \(CH\)
Теперь мы можем найти высоту \(CH\) (высоту из \(C\) на сторону \(AB\)) по формуле для площади треугольника:
Площадь треугольника можно вычислить как:
\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \]
Подставим известные значения:
\[ \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} \]
Упрощая, получаем:
\[ 12 \cdot CH = 6 \cdot 6\sqrt{3} \]
\[ CH = \frac{36\sqrt{3}}{12} = 3\sqrt{3} \]
Шаг 5: Найдем \(AH\)
В треугольнике \(AHC\) \(\sin A\) также можно использовать:
\[ \sin A = \frac{CH}{AC} \Rightarrow CH = AC \cdot \sin A \]
Таким образом, \(AH\) можно найти следующим образом:
\[ AH = AC - HC \]
Чтобы найти \(AH\), используем теорему Пифагора:
\( AH^2 + CH^2 = AC^2 \)
Подставим значения:
\[ AH^2 + (3\sqrt{3})^2 = 6^2 \]
\[ AH^2 + 27 = 36 \]
\[ AH^2 = 36 - 27 \]
\[ AH^2 = 9 \]
\[ AH = 3 \]
Ответ
Длина \(AH = 3\).
