На сторонах ромба ABCD, острый угол которого равен 60°, расположены векторы →→ ВА и ВС, длина каждого равна 2 ед. → Определи длину вектора разности ВА – BC.
Чтобы решить задачу, сначала давайте вспомним некоторые основные свойства ромба и векторов.
Шаг 1: Определение векторов
В ромбе ABCD все стороны равны, и угол A равен 60°. Из условия у нас есть два вектора:
- Вектор \( \vec{BA} \) (от точки B к A)
- Вектор \( \vec{BC} \) (от точки B к C)
Длина каждого из этих векторов равна 2 единицы.
Шаг 2: Определение направлений векторов
Вектор \( \vec{BA} \):
- Направлен от B к A.
- Если представим ромб в координатной системе, можно считать, что:
- \( B(0, 0) \)
- \( A(2 \cos(60^\circ), 2 \sin(60^\circ)) = (2 \cdot 0.5, 2 \cdot \sqrt{3}/2) = (1, \sqrt{3}) \)
Тогда вектор \( \vec{BA} = A - B = (1, \sqrt{3}) - (0, 0) = (1, \sqrt{3}) \).
Вектор \( \vec{BC} \):
- Направлен от B к C.
- Учитывая, что ABCD — ромб, угол C равен 120° (так как противоположные углы равны, а смежные углы в сумме дают 180°). Мы можем найти координаты точки C:
- \( C(2 \cos(120^\circ), 2 \sin(120^\circ)) = (2 \cdot (-0.5), 2 \cdot \sqrt{3}/2) = (-1, \sqrt{3}) \)
Тогда вектор \( \vec{BC} = C - B = (-1, \sqrt{3}) - (0, 0) = (-1, \sqrt{3}) \).
Шаг 3: Вычисление разности векторов
Теперь, чтобы найти вектор разности \( \vec{BA} - \vec{BC} \), вычтем координаты векторов:
\[ \vec{BA} - \vec{BC} = (1, \sqrt{3}) - (-1, \sqrt{3}) \]
Это можно сделать поэлементно:
- По первой координате: \( 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \)
- По второй координате: \( \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0 \)
Таким образом, вектор разности \( \vec{BA} - \vec{BC} = (2, 0) \).
Шаг 4: Длина вектора разности
Длину вектора в двумерном пространстве можно вычислить по формуле:
\[ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
где \( x \) и \( y \) — координаты вектора. В нашем случае:
\[ |\vec{BA} - \vec{BC}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \]
Ответ
Длина вектора разности \( \vec{BA} - \vec{BC} \) равна 2 единицы.
