Для решения уравнения
[
\frac{x^2}{x-5} = \frac{28 - 11x}{5 - x}
]
начнем с упрощения правой части. Обратите внимание, что (5 - x) можно переписать как (- (x - 5)). Таким образом уравнение можно записать так:
[
\frac{x^2}{x-5} = \frac{28 - 11x}{-(x - 5)} = -\frac{28 - 11x}{x - 5}
]
Теперь, если умножить обе стороны на ((x - 5)) (при условии, что (x \neq 5)), получится:
[
x^2 = - (28 - 11x)
]
Упрощаем правую часть:
[
x^2 = -28 + 11x
]
Переносим все члены на одну сторону уравнения:
[
x^2 - 11x + 28 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта выглядит так:
[
D = b^2 - 4ac
]
где (a = 1), (b = -11) и (c = 28):
[
D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9
]
Так как дискриминант положительный, это означает, что у уравнения два различных корня. Вычисляем корни по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставляем значения:
[
x = \frac{11 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm 3}{2}
]
Теперь находим два корня:
- (x_1 = \frac{11 + 3}{2} = \frac{14}{2} = 7)
- (x_2 = \frac{11 - 3}{2} = \frac{8}{2} = 4)
Теперь у нас есть два корня: (x_1 = 7) и (x_2 = 4).
В порядке возрастания эти корни выглядят так:
[
4, 7
]
Таким образом, окончательный ответ:
Корни уравнения: (4, 7)
