Для решения задачи воспользуемся формулой де Бройля для длины волны:
[
\lambda = \frac{h}{p}
]
где:
- (\lambda) — длина волны де Бройля,
- (h) — постоянная Планка ((6.626 \times 10^{-34} , \text{Дж} \cdot \text{с})),
- (p) — импульс частицы.
Импульс протона можно выразить через его кинетическую энергию:
[
E_k = \frac{p^2}{2m}
]
где:
- (E_k) — кинетическая энергия,
- (m) — масса протона ((m \approx 1.67 \times 10^{-27} , \text{кг})).
Длина волны де Бройля для начальной кинетической энергии:
[
\lambda_1 = \frac{h}{p_1}
]
Для уменьшения длины волны в 3 раза:
[
\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{3} = \frac{h}{p_2}
]
Сравниваем длины волн:
[
\frac{h}{p_2} = \frac{h}{3p_1}
]
Из этого выражения видно, что:
[
p_2 = 3p_1
]
Теперь находим, какую кинетическую энергию необходимо для этого:
[
E_k = \frac{p^2}{2m}
]
Для импульса (p_1):
[
E_{k1} = \frac{p_1^2}{2m}
]
Для импульса (p_2 = 3p_1):
[
E_{k2} = \frac{(3p_1)^2}{2m} = \frac{9p_1^2}{2m}
]
Теперь подставим (E_{k1}):
[
E_{k2} = 9E_{k1}
]
Тогда дополнительная энергия будет равна:
[
\Delta E = E_{k2} - E_{k1} = 9E_{k1} - E_{k1} = 8E_{k1}
]
Если кинетическая энергия протона была (E_{k1} = E) кэВ, то:
[
\Delta E = 8E \text{ кэВ}
]
Ответ: (8E) кэВ.
