Чтобы найти площадь круга, в который вписан прямоугольный треугольник с катетами 12 и 9, будем действовать по шагам.
Шаг 1: Найдем длину гипотенузы
Для начала нам нужно найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника. Мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Формула:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
]
Где:
- ( c ) — гипотенуза,
- ( a ) и ( b ) — катеты.
Подставим наши значения:
[
c = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15
]
Шаг 2: Найдем радиус вписанной окружности
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле:
[
r = \frac{a + b - c}{2}
]
где ( r ) — радиус, ( a ) и ( b ) — катеты, ( c ) — гипотенуза.
Подставим наши значения:
[
r = \frac{12 + 9 - 15}{2} = \frac{6}{2} = 3
]
Шаг 3: Найдем площадь круга
Теперь, когда мы знаем радиус круга, можем найти его площадь. Площадь круга вычисляется по формуле:
[
S = \pi r^2
]
Подставим значение радиуса:
[
S = \pi \cdot 3^2 = \pi \cdot 9 \approx 28.27
]
Ответ
Таким образом, площадь круга, в который вписан данный прямоугольный треугольник, составляет примерно ( 28.27 ) квадратных единиц.
