найдите значение функции
Для нахождения значения функции \( f(x) = x^3 - 12x + 4 \) в точке максимума, нужно следующее:
Найти производную функции.
Производная функции \( f(x) \) обозначается как \( f'(x) \). Для данной функции: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(12x) + \frac{d}{dx}(4) \] \[ f'(x) = 3x^2 - 12 \]
Найти критические точки.
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение: \[ 3x^2 - 12 = 0 \] \[ 3x^2 = 12 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = \pm 2 \]
Определить, какая из этих точек является точкой максимума.
Используем вторую производную, чтобы выяснить характер критических точек: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12) \] \[ f''(x) = 6x \]
Подставим \( x = 2 \) и \( x = -2 \) в \( f''(x) \):
Для \( x = 2 \): \[ f''(2) = 6 \times 2 = 12 \quad (\text{> 0, минимум}) \]
Для \( x = -2 \): \[ f''(-2) = 6 \times (-2) = -12 \quad (\text{< 0, максимум}) \]
Поэтому \( x = -2 \) — это точка максимума.
Подставить значение \( x = -2 \) в исходную функцию, чтобы найти значение функции в точке максимума: \[ f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 4 \] \[ f(-2) = -8 + 24 + 4 \] \[ f(-2) = 20 \]
Значение функции в точке максимума равно 20.
