Точка О – центр грани АВСD куба АВСDА1В1C1D1, ребро которого равняется а. Найдите: 1) расстояние от точки О до вершины В1 куба; 2) тангенс угла между прямыми В1О и DD1
Давайте разберёмся с заданной задачей. У нас есть куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра \( a \). Точка O — это центр грани ABCD куба. Мы найдем расстояние от точки O до вершины B1 и тангенс угла между прямыми B1O и DD1.
1. Расстояние от точки O до вершины B1
Сначала определим координаты всех ключевых точек куба:
- \( A (0, 0, 0) \)
- \( B (a, 0, 0) \)
- \( C (a, a, 0) \)
- \( D (0, a, 0) \)
- \( A_1 (0, 0, a) \)
- \( B_1 (a, 0, a) \)
- \( C_1 (a, a, a) \)
- \( D_1 (0, a, a) \)
Грань ABCD находится в плоскости \( z = 0 \), а по этой грани можно найти центр O. Координаты центра грани (середины между вершинами) можно найти следующим образом:
Координаты центра O:
\[ O = \left( \frac{0 + a + a + 0}{4}, \frac{0 + 0 + a + a}{4}, 0 \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right) \]
Теперь у нас есть координаты точки O \( \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right) \) и вершины B1 \( (a, 0, a) \).
Для нахождения расстояния \( d \) между точками O и B1, используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]
где \( (x_1, y_1, z_1) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right) \) и \( (x_2, y_2, z_2) = (a, 0, a) \).
Теперь подставим координаты в формулу:
\[ d = \sqrt{(a - \frac{a}{2})^2 + (0 - \frac{a}{2})^2 + (a - 0)^2} \]
Считаем:
\[ d = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + a^2} \]
\[ = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2} \]
Таким образом, расстояние от точки O до вершины B1:
\[ \boxed{\frac{a\sqrt{6}}{2}} \]
2. Тангенс угла между прямыми B1O и DD1
Теперь найдем тангенс угла между прямыми B1O и DD1.
Вектор B1O:
\[ \text{Вектор } B1O = O - B1 = \left( \frac{a}{2} - a, \frac{a}{2} - 0, 0 - a \right) = \left( -\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -a \right) \]
Вектор DD1:
\[ D(0, a, 0) \Rightarrow D1(0, a, a) \] \[ \text{Вектор } DD1 = D1 - D = \left( 0 - 0, a - a, a - 0 \right) = (0, 0, a) \]
Теперь можем найти угол между этими векторами, используя скалярное произведение:
Скалярное произведение:
\[ B1O \cdot DD1 = \left( -\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -a \right) \cdot (0, 0, a) = 0 + 0 - a^2 = -a^2 \]
Длина векторов:
- Длина \( |B1O| = \sqrt{ \left( -\frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 + (-a)^2 } = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2} \)
- Длина \( |DD1| = \sqrt{0^2 + 0^2 + a^2} = a \)
Запишем формулу для косинуса угла \( \theta \):
\[ \cos(\theta) = \frac{B1O \cdot DD1}{|B1O||DD1|} = \frac{-a^2}{\left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)a} = \frac{-2a}{\sqrt{6}} = -\frac{2}{\sqrt{6}} \]
Находим \( \sin(\theta) \):
Используя \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \):
\[ \sin^2(\theta) = 1 - \left(-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^2 = 1 - \frac{4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Тогда \( \sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
Теперь можем найти тангенс:
\[ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{-\frac{2}{\sqrt{6}}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot -\frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Таким образом, тангенс угла между прямыми B1O и DD1:
\[ \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Это и есть решение задачи! Если есть вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!
