Найдите угол cd1b прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1 у которого ab 3 ad 2 aa1 корень из 3

Чтобы найти угол \( cd_1b \) прямоугольного параллелепипеда \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), начнем с описания фигуры и необходимых данных. У нас есть прямоугольный параллелепипед, где: - \( AB = 3 \) (длина) - \( AD = 2 \) (ширина) - \( AA_1 = \sqrt{3} \) (высота) ### Шаг 1: Определение координат точек Для удобства работы с пространственными фигурами, зададим координаты вершин: - \( A (0, 0, 0) \) - \( B (3, 0, 0) \) - \( D (0, 2, 0) \) - \( C (3, 2, 0) \) - \( A_1 (0, 0, \sqrt{3}) \) - \( B_1 (3, 0, \sqrt{3}) \) - \( C_1 (3, 2, \sqrt{3}) \) - \( D_1 (0, 2, \sqrt{3}) \) ### Шаг 2: Векторное представление Теперь мы найдем координаты точек \( C \), \( D_1 \) и \( B \): - \( D_1 (0, 2, \sqrt{3}) \) - \( C (3, 2, 0) \) - \( B (3, 0, 0) \) ### Шаг 3: Нахождение векторов Вычислим векторы \( \overrightarrow{CD_1} \) и \( \overrightarrow{BD} \): 1. Вектор \( \overrightarrow{CD_1} \): \[ \overrightarrow{CD_1} = D_1 - C = (0, 2, \sqrt{3}) - (3, 2, 0) = (-3, 0, \sqrt{3}) \] 2. Вектор \( \overrightarrow{CB} \): \[ \overrightarrow{CB} = B - C = (3, 0, 0) - (3, 2, 0) = (0, -2, 0) \] ### Шаг 4: Нахождение угла между векторами Чтобы найти угол между векторами \( \overrightarrow{CD_1} \) и \( \overrightarrow{CB} \), используем формулу для угла между двумя векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{CD_1} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CD_1}| |\overrightarrow{CB}|} \] Сначала найдем скалярное произведение \( \overrightarrow{CD_1} \cdot \overrightarrow{CB} \): \[ \overrightarrow{CD_1} \cdot \overrightarrow{CB} = (-3) \cdot 0 + 0 \cdot (-2) + \sqrt{3} \cdot 0 = 0 \] ### Шаг 5: Длина векторов Теперь найдем длины векторов: \[ |\overrightarrow{CD_1}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] \[ |\overrightarrow{CB}| = \sqrt{(0)^2 + (-2)^2 + (0)^2} = \sqrt{4} = 2 \] ### Шаг 6: Подставляем в формулу для косинуса Теперь подставим в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{0}{2\sqrt{3} \cdot 2} = 0 \] ### Шаг 7: Угол Так как \( \cos(\theta) = 0 \), это означает, что угол \( \theta = 90^\circ \). ### Ответ Угол \( cd_1b \) равен \( 90^\circ \). Это свидетельствует о том, что векторы перпендикулярны друг другу.