найдите угол cd1b прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1 у которого ab 3 ad 2 aa1 корень из 3

Чтобы найти угол \( cd_1b \) прямоугольного параллелепипеда \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), начнем с описания фигуры и необходимых данных. У нас есть прямоугольный параллелепипед, где:

• \( AB = 3 \) (длина)
• \( AD = 2 \) (ширина)
• \( AA_1 = \sqrt{3} \) (высота)

Шаг 1: Определение координат точек

Для удобства работы с пространственными фигурами, зададим координаты вершин:

• \( A (0, 0, 0) \)
• \( B (3, 0, 0) \)
• \( D (0, 2, 0) \)
• \( C (3, 2, 0) \)
• \( A_1 (0, 0, \sqrt{3}) \)
• \( B_1 (3, 0, \sqrt{3}) \)
• \( C_1 (3, 2, \sqrt{3}) \)
• \( D_1 (0, 2, \sqrt{3}) \)

Шаг 2: Векторное представление

Теперь мы найдем координаты точек \( C \), \( D_1 \) и \( B \):

• \( D_1 (0, 2, \sqrt{3}) \)
• \( C (3, 2, 0) \)
• \( B (3, 0, 0) \)

Шаг 3: Нахождение векторов

Вычислим векторы \( \overrightarrow{CD_1} \) и \( \overrightarrow{BD} \):

1. Вектор \( \overrightarrow{CD_1} \): \[ \overrightarrow{CD_1} = D_1 - C = (0, 2, \sqrt{3}) - (3, 2, 0) = (-3, 0, \sqrt{3}) \]

2. Вектор \( \overrightarrow{CB} \): \[ \overrightarrow{CB} = B - C = (3, 0, 0) - (3, 2, 0) = (0, -2, 0) \]

Шаг 4: Нахождение угла между векторами

Чтобы найти угол между векторами \( \overrightarrow{CD_1} \) и \( \overrightarrow{CB} \), используем формулу для угла между двумя векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{CD_1} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CD_1}| |\overrightarrow{CB}|} \]

Сначала найдем скалярное произведение \( \overrightarrow{CD_1} \cdot \overrightarrow{CB} \):

\[ \overrightarrow{CD_1} \cdot \overrightarrow{CB} = (-3) \cdot 0 + 0 \cdot (-2) + \sqrt{3} \cdot 0 = 0 \]

Шаг 5: Длина векторов

Теперь найдем длины векторов:

\[ |\overrightarrow{CD_1}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

\[ |\overrightarrow{CB}| = \sqrt{(0)^2 + (-2)^2 + (0)^2} = \sqrt{4} = 2 \]

Шаг 6: Подставляем в формулу для косинуса

Теперь подставим в формулу:

\[ \cos(\theta) = \frac{0}{2\sqrt{3} \cdot 2} = 0 \]

Шаг 7: Угол

Так как \( \cos(\theta) = 0 \), это означает, что угол \( \theta = 90^\circ \).

Ответ

Угол \( cd_1b \) равен \( 90^\circ \).

Это свидетельствует о том, что векторы перпендикулярны друг другу.