Давайте решим задачу о нахождении радиуса окружности, описанной около треугольника ABC, где угол C равен 120 градусов, а сторона AB равна ( 18\sqrt{3} ).
Шаг 1: Вспомнить формулу для радиуса описанной окружности.
Радиус ( R ) описанной окружности треугольника можно вычислить по формуле:
[
R = \frac{abc}{4S}
]
где:
- ( a ), ( b ), ( c ) — длины сторон треугольника,
- ( S ) — площадь треугольника.
Шаг 2: Определяем стороны треугольника и угол.
У нас есть:
- Угол ( C = 120^\circ )
- Сторона ( AB = c = 18\sqrt{3} )
Теперь обозначим сторону ( AC = b ) и сторону ( BC = a ).
Шаг 3: Используем закон косинусов для нахождения сторон.
Для нахождения сторон ( a ) и ( b ) мы можем использовать закон косинусов. По нему:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C
]
[
(18\sqrt{3})^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(120^\circ)
]
Поскольку ( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} ), подставим это в формулу:
[
(18\sqrt{3})^2 = a^2 + b^2 + ab
]
Итак,
[
972 = a^2 + b^2 + ab
]
Шаг 4: Найдем площадь треугольника ( S ).
Площадь треугольника с помощью формулы:
[
S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin C
]
Здесь ( \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ).
Таким образом,
[
S = \frac{1}{2}ab \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} ab
]
Шаг 5: Подставляем значение площади в формулу для радиуса ( R ).
Теперь мы можем выразить радиус описанной окружности через найденные значения:
[
R = \frac{abc}{4S} = \frac{abc}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} ab} = \frac{c}{\sqrt{3}}
]
Шаг 6: Подставляем известные значения.
Теперь подставим ( c = 18\sqrt{3} ):
[
R = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 18
]
Ответ:
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 18.
