На гладком горизонтальном столе покоятся две шайбы. Третья шайба поступательно движется по столу и сталкивается поочерёдно с покоящимися шайбами. После первого столкновения шайба…
На гладком горизонтальном столе покоятся две шайбы. Третья шайба поступательно движется по столу и сталкивается поочерёдно с покоящимися шайбами. После первого столкновения шайба отклоняется от направления движения на 10 градусов, после второго столкновения шайба отклоняется на 20 градусов от нового направления движения. На сколько процентов уменьшается кинетическая энергия налетающей шайбы после д
Давайте решим задачу пошагово и постараемся понять, как происходит уменьшение кинетической энергии шайбы после двух столкновений.
Шаг 1: Определение параметров задачи
Сначала обозначим:
- \( m \) — масса шайбы, движущейся до столкновения.
- \( v_0 \) — начальная скорость шайбы до первого столкновения.
- \( v_1 \) — скорость шайбы после первого столкновения.
- \( v_2 \) — скорость шайбы после второго столкновения.
Шаг 2: Изменение направления движения
Первое столкновение: Шайба отклоняется на 10 градусов. После столкновения ее скорость направлена под углом 10 градусов к первоначальному направлению.
Второе столкновение: После первого столкновения шайба отклоняется еще на 20 градусов от нового направления (то есть, от направления после первого столкновения), в результате этого угол между первоначальным направлением и направлением после второго столкновения составит \( 10 + 20 = 30 \) градусов.
Шаг 3: Вычисление кинетической энергии
Кинетическая энергия \( K \) движущегося объекта вычисляется по формуле:
\[ K = \frac{1}{2} m v^2 \]
Где \( m \) — масса, \( v \) — скорость.
Кинетическая энергия до столкновений:
- Начальная кинетическая энергия (до первого столкновения):
\[ K_0 = \frac{1}{2} m v_0^2 \]
Кинетическая энергия после столкновений:
- После первого столкновения:
- Скорость \( v_1 \) можно выразить через начало скорости \( v_0 \). Учитывая, что скорость не теряется полностью, она остаётся пропорциональной. Однако, мы имеем угол отклонения, что говорит о том, что будет работать проекция скорости:
\[ v_1 = v_0 \cdot \cos(10^\circ) \]
- Кинетическая энергия после первого столкновения:
\[ K_1 = \frac{1}{2} m (v_0 \cdot \cos(10^\circ))^2 = \frac{1}{2} m v_0^2 \cdot \cos^2(10^\circ) \]
- После второго столкновения:
- Скорость \( v_2 \) после второго столкновения будет:
\[ v_2 = v_1 \cdot \cos(20^\circ) = v_0 \cdot \cos(10^\circ) \cdot \cos(20^\circ) \]
- Кинетическая энергия после второго столкновения:
\[ K_2 = \frac{1}{2} m (v_0 \cdot \cos(10^\circ) \cdot \cos(20^\circ))^2 = \frac{1}{2} m v_0^2 \cdot \cos^2(10^\circ) \cdot \cos^2(20^\circ) \]
Шаг 4: Определение уменьшения кинетической энергии
Теперь рассчитаем уменьшение кинетической энергии на процентное соотношение. Уменьшение кинетической энергии можно вычислить как:
\[ \Delta K = K_0 - K_2 \]
Процент уменьшения энергии:
\[ \text{Процент уменьшения} = \frac{\Delta K}{K_0} \cdot 100\% = \left(1 - \frac{K_2}{K_0}\right) \cdot 100\% \]
Подставим значения:
\[ = \left(1 - \cos^2(10^\circ) \cdot \cos^2(20^\circ)\right) \cdot 100\% \]
Шаг 5: Подсчет значений
Теперь вычислим численные значения для \( \cos(10^\circ) \) и \( \cos(20^\circ) \):
- \( \cos(10^\circ) \approx 0.9848 \)
- \( \cos(20^\circ) \approx 0.9397 \)
Теперь подставим эти значения:
\[ \cos^2(10^\circ) \approx 0.9697 \] \[ \cos^2(20^\circ) \approx 0.8830 \]
Итак, \[ \cos^2(10^\circ) \cdot \cos^2(20^\circ) \approx 0.9697 \cdot 0.8830 \approx 0.8575 \]
Теперь можем найти процент уменьшения:
\[ 1 - 0.8575 = 0.1425 \]
Переводим в проценты:
\[ 0.1425 \cdot 100\% \approx 14.25\% \]
Ответ
Таким образом, на сколько процентов уменьшается кинетическая энергия налетающей шайбы после двух столкновений, составляет примерно 14.25%.
