периметр прямоугольника равен 98см, а его площадь 360см квадратных.найдите длины сторон прямоугольника
Давайте решим задачу по нахождению сторон прямоугольника, зная его периметр и площадь. Периметр прямоугольника P можно вычислить по формуле:
\[ P = 2(a + b) \]
где \( a \) и \( b \) — длины сторон прямоугольника.
Площадь S вычисляется по формуле:
\[ S = a \times b \]
Здесь \( S = 360 \text{ см}^2 \) (площадь) и \( P = 98 \text{ см} \) (периметр).
Шаг 1: Выразим одно из уравнений через другое
Мы знаем, что:
\[ P = 2(a + b) = 98 \]
Разделим обе стороны на 2:
\[ a + b = 49 \]
Теперь выразим одну из переменных через другую:
\[ b = 49 - a \]
Шаг 2: Подставим значение b в уравнение площади
Теперь подставим это значение в уравнение площади:
\[ S = a \times b \] \[ 360 = a \times (49 - a) \]
Шаг 3: Раскроем скобки и упростим
Раскроем скобки:
\[ 360 = 49a - a^2 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ a^2 - 49a + 360 = 0 \]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение
Теперь у нас есть квадратное уравнение в стандартном виде \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 1, b = -49, c = 360 \).
Используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 \] \[ D = 2401 - 1440 \] \[ D = 961 \]
Теперь находим корни уравнения:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ a = \frac{49 \pm \sqrt{961}}{2} \] \[ a = \frac{49 \pm 31}{2} \]
Теперь найдем два возможных значения для \( a \):
- \( a = \frac{49 + 31}{2} = \frac{80}{2} = 40 \)
- \( a = \frac{49 - 31}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
Шаг 5: Найдем значения b
Теперь, когда мы знаем \( a \), можем найти \( b \):
- Если \( a = 40 \):
\[ b = 49 - 40 = 9 \]
- Если \( a = 9 \):
\[ b = 49 - 9 = 40 \]
Ответ:
Длины сторон прямоугольника равны 9 см и 40 см.
Таким образом, мы нашли обе стороны прямоугольника.
