напишите уравнения касательных к графику функции y=9-x² в точках его пересечения с осью oX. (т.е. у=0)

Чтобы найти уравнения касательных к графику функции \( y = 9 - x^2 \) в точках, где график пересекается с осью \( OX \), сначала нужно определить эти точки пересечения.

Шаг 1: Находим точки пересечения с осью \( OX \)

Пересечение с осью \( OX \) означает, что \( y = 0 \). Подставляем это значение в уравнение функции:

\[ 0 = 9 - x^2 \]

Шаг 2: Решаем уравнение

Перепишем уравнение:

\[ x^2 = 9 \]

Теперь находим корни уравнения:

\[ x = \pm 3 \]

Итак, график функции пересекается с осью \( OX \) в двух точках: \( (3, 0) \) и \( (-3, 0) \).

Шаг 3: Находим производную функции

Чтобы найти уравнение касательной, сначала найдем производную функции \( y = 9 - x^2 \):

\[ \frac{dy}{dx} = -2x \]

Шаг 4: Вычисляем наклоны касательной

Теперь вычислим наклоны касательных в точках пересечения.

1. В точке \( (3, 0) \): \[ \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=3} = -2 \cdot 3 = -6 \]

2. В точке \( (-3, 0) \): \[ \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=-3} = -2 \cdot (-3) = 6 \]

Шаг 5: Составляем уравнения касательных

Уравнение касательной можно записать в общем виде:

\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

где \( m \) — наклон (производная), и \( (x_1, y_1) \) — точка касания.

1. Для точки \( (3, 0) \) с наклоном \( m = -6 \): \[ y - 0 = -6(x - 3) \implies y = -6x + 18 \]

2. Для точки \( (-3, 0) \) с наклоном \( m = 6 \): \[ y - 0 = 6(x + 3) \implies y = 6x + 18 \]

Заключение

Таким образом, уравнения касательных к графику функции \( y = 9 - x^2 \) в точках пересечения с осью \( OX \) — это:

1. \( y = -6x + 18 \) (в точке \( (3, 0) \))
2. \( y = 6x + 18 \) (в точке \( (-3, 0) \))