Ванна заполняется холодной водой за 6 мин 40 с, горячей – за 8 мин. Если из полной ванны вынуть пробку, то вода вытечет за 13 мин 20 с. За какое время ванна наполнится, если оба крана открыли, но забыли заткнуть отверстие в ванне пробкой?

Давайте решим задачу шаг за шагом. 1. **Определим скорости заполнения и вытекания воды.** Для начала переведем время в секунды, чтобы упростить расчеты: - Холодная вода заполняется за 6 минут 40 секунд: \[ 6 \text{ мин} \times 60 \text{ с/мин} + 40 \text{ с} = 400 \text{ с} \] - Горячая вода заполняется за 8 минут: \[ 8 \text{ мин} \times 60 \text{ с/мин} = 480 \text{ с} \] - Вода вытекает за 13 минут 20 секунд: \[ 13 \text{ мин} \times 60 \text{ с/мин} + 20 \text{ с} = 800 \text{ с} \] 2. **Вычислим скорости заполнения и вытекания.** Определим скорость заполнения холодной и горячей воды: - Скорость холодной воды: \[ V_1 = \frac{1 \text{ ванна}}{400 \text{ с}} = \frac{1}{400} \text{ ванн/с} \] - Скорость горячей воды: \[ V_2 = \frac{1 \text{ ванна}}{480 \text{ с}} = \frac{1}{480} \text{ ванн/с} \] - Скорость вытекания воды: \[ V_{out} = \frac{1 \text{ ванна}}{800 \text{ с}} = \frac{1}{800} \text{ ванн/с} \] 3. **Сложим скорости заполнения и вычтем скорость вытекания.** Когда оба крана открыты, net скорость заполнения будет: \[ V_{net} = V_1 + V_2 - V_{out} \] Подставим значения: \[ V_{net} = \frac{1}{400} + \frac{1}{480} - \frac{1}{800} \] 4. **Приведем к общему знаменателю.** Наименьший общий кратный для 400, 480 и 800 равен 2400. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{1}{400} = \frac{6}{2400}, \quad \frac{1}{480} = \frac{5}{2400}, \quad \frac{1}{800} = \frac{3}{2400} \] 5. **Теперь сложим и вычтем:** \[ V_{net} = \frac{6}{2400} + \frac{5}{2400} - \frac{3}{2400} = \frac{8}{2400} = \frac{1}{300} \text{ ванн/с} \] 6. **Определим время заполнения.** Чтобы заполнить 1 ванну при скорости \(\frac{1}{300}\) ванн в секунду, потребуется: \[ t = \frac{1 \text{ ванна}}{V_{net}} = 300 \text{ с} \] Сконвертируем секунды в минуты: \[ 300 \text{ с} = 5 \text{ мин} \] Таким образом, если оба крана открыты, но пробка не вставлена, ванна наполнится за **5 минут**.