Нужно решить все 4 задания

Давайте разберём по порядку каждое из заданий. ### 1. Вычислите пределы функций: **a) \(\lim_{x \to 5} \frac{3x - 8}{x - 5}\)** Чтобы найти предел, сначала попробуем подставить \(x = 5\), но это приводит к неопределённости \(\frac{0}{0}\). Попробуем упростить выражение: \[ \lim_{x \to 5} \frac{3x - 8}{x - 5} = \lim_{x \to 5} \frac{3(x - 5) + 7}{x - 5} = \lim_{x \to 5} \left(3 + \frac{7}{x - 5}\right) \] При приближении \(x\) к 5, \(\frac{7}{x - 5}\) стремится к бесконечности, так что предел не существует. **b) \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 3x - 7}{2x^2 - 3x + 1}\)** Подставление \(x = 3\) дает неопределённость \(\frac{0}{0}\), попробуем разложить в числителе и знаменателе: Попробуем использовать правило Лопиталя, поскольку подстановка приводит к неопределенности \(\frac{0}{0}\): Найдём производные числителя и знаменателя: - Числитель: \(\frac{d}{dx}(x^2 + 3x - 7) = 2x + 3\) - Знаменатель: \(\frac{d}{dx}(2x^2 - 3x + 1) = 4x - 3\) Подставим \(x = 3\): \[ \lim_{x \to 3} \frac{2x + 3}{4x - 3} = \frac{2(3) + 3}{4(3) - 3} = \frac{6 + 3}{12 - 3} = \frac{9}{9} = 1 \] ### 2. Найдите производную функции: \( f(x) = 3x^3 - 4.5x \) Производная функции находится по формуле: \( f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^3 - 4.5x) = 9x^2 - 4.5 \). ### 3. Математическая точка движется прямолинейно по закону \( x(t) = 19t - 3t^2 + t^3 \), где \( x(t) \) — путь в метрах, \( t \) — время в секундах. Найдите мгновенную скорость \( v(t) \) и ускорение \( g(t) \) в момент времени \( t = 5 \). - **Скорость** \( v(t) \) — это первая производная пути: \[ v(t) = \frac{d}{dt} (19t - 3t^2 + t^3) = 19 - 6t + 3t^2 \] Подставим \( t = 5 \): \[ v(5) = 19 - 6(5) + 3(5)^2 = 19 - 30 + 75 = 64 \, \text{м/с} \] - **Ускорение** \( g(t) \) — это первая производная скорости, или вторая производная пути: \[ g(t) = \frac{d}{dt} (19 - 6t + 3t^2) = -6 + 6t \] Подставим \( t = 5 \): \[ g(5) = -6 + 6(5) = 24 \, \text{м/с}^2 \] ### 4. Дана функция \( y = 3x^2 - 2x \). Составьте уравнение касательной в точке \( x = - 2 \). Чтобы составить уравнение касательной, нужно найти производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 2x) = 6x - 2 \] Найдём наклон касательной в точке \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 6(-2) - 2 = -12 - 2 = -14 \] Найдём точку на кривой: \[ y(-2) = 3(-2)^2 - 2(-2) = 12 + 4 = 16 \] Уравнение касательной в точке \((x_0, y_0)\) имеет вид: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] Где \( m = -14 \), \( x_0 = -2 \), \( y_0 = 16 \): \[ y - 16 = -14(x + 2) \] Преобразуем уравнение: \[ y = -14x - 28 + 16 \] \[ y = -14x - 12 \] Таким образом, уравнение касательной: \( y = -14x - 12 \).