Нужно решить все 4 задания
Давайте разберём по порядку каждое из заданий.
1. Вычислите пределы функций:
a) \(\lim_{x \to 5} \frac{3x - 8}{x - 5}\)
Чтобы найти предел, сначала попробуем подставить \(x = 5\), но это приводит к неопределённости \(\frac{0}{0}\). Попробуем упростить выражение:
\[ \lim_{x \to 5} \frac{3x - 8}{x - 5} = \lim_{x \to 5} \frac{3(x - 5) + 7}{x - 5} = \lim_{x \to 5} \left(3 + \frac{7}{x - 5}\right) \]
При приближении \(x\) к 5, \(\frac{7}{x - 5}\) стремится к бесконечности, так что предел не существует.
b) \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 3x - 7}{2x^2 - 3x + 1}\)
Подставление \(x = 3\) дает неопределённость \(\frac{0}{0}\), попробуем разложить в числителе и знаменателе:
Попробуем использовать правило Лопиталя, поскольку подстановка приводит к неопределенности \(\frac{0}{0}\):
Найдём производные числителя и знаменателя:
- Числитель: \(\frac{d}{dx}(x^2 + 3x - 7) = 2x + 3\)
- Знаменатель: \(\frac{d}{dx}(2x^2 - 3x + 1) = 4x - 3\)
Подставим \(x = 3\):
\[ \lim_{x \to 3} \frac{2x + 3}{4x - 3} = \frac{2(3) + 3}{4(3) - 3} = \frac{6 + 3}{12 - 3} = \frac{9}{9} = 1 \]
2. Найдите производную функции: \( f(x) = 3x^3 - 4.5x \)
Производная функции находится по формуле: \( f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^3 - 4.5x) = 9x^2 - 4.5 \).
3. Математическая точка движется прямолинейно по закону \( x(t) = 19t - 3t^2 + t^3 \), где \( x(t) \) — путь в метрах, \( t \) — время в секундах. Найдите мгновенную скорость \( v(t) \) и ускорение \( g(t) \) в момент времени \( t = 5 \).
Скорость \( v(t) \) — это первая производная пути:
\[ v(t) = \frac{d}{dt} (19t - 3t^2 + t^3) = 19 - 6t + 3t^2 \]
Подставим \( t = 5 \):
\[ v(5) = 19 - 6(5) + 3(5)^2 = 19 - 30 + 75 = 64 \, \text{м/с} \]
Ускорение \( g(t) \) — это первая производная скорости, или вторая производная пути:
\[ g(t) = \frac{d}{dt} (19 - 6t + 3t^2) = -6 + 6t \]
Подставим \( t = 5 \):
\[ g(5) = -6 + 6(5) = 24 \, \text{м/с}^2 \]
4. Дана функция \( y = 3x^2 - 2x \). Составьте уравнение касательной в точке \( x = - 2 \).
Чтобы составить уравнение касательной, нужно найти производную функции:
\[ y' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 2x) = 6x - 2 \]
Найдём наклон касательной в точке \( x = -2 \):
\[ y'(-2) = 6(-2) - 2 = -12 - 2 = -14 \]
Найдём точку на кривой:
\[ y(-2) = 3(-2)^2 - 2(-2) = 12 + 4 = 16 \]
Уравнение касательной в точке \((x_0, y_0)\) имеет вид:
\[ y - y_0 = m(x - x_0) \]
Где \( m = -14 \), \( x_0 = -2 \), \( y_0 = 16 \):
\[ y - 16 = -14(x + 2) \]
Преобразуем уравнение:
\[ y = -14x - 28 + 16 \]
\[ y = -14x - 12 \]
Таким образом, уравнение касательной: \( y = -14x - 12 \).
