6tg²x-5tgx+1=0

Для решения уравнения \( 6\tan^2{x} - 5\tan{x} + 1 = 0 \) будем использовать подстановку. Давайте обозначим \( t = \tan{x} \). Таким образом, уравнение можно переписать как: \[ 6t^2 - 5t + 1 = 0 \] Теперь это квадратное уравнение, которое мы можем решить, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 6 \), \( b = -5 \), \( c = 1 \). 1. **Найдем дискриминант \( D \)**: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 \] 2. **Вычислим корни уравнения**: Так как дискриминант положителен, у нас будут два различных корня: \[ t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \] \[ t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] Теперь у нас есть два значения для \( t \): \[ t_1 = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{1}{3} \] Так как мы обозначили \( t = \tan{x} \), можем записать: 1. \( \tan{x} = \frac{1}{2} \) 2. \( \tan{x} = \frac{1}{3} \) Теперь найдём \( x \) для каждого из случаев. **Для \( \tan{x} = \frac{1}{2} \)**: Найдём \( x \): \[ x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \] Это даст нам один из углов, находящихся в первой амплитуде. Не забудьте, что тангенс периодичен: \[ x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] **Для \( \tan{x} = \frac{1}{3} \)**: Аналогично: \[ x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) \] Также учитываем периодичность: \[ x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] **Итак, окончательные решения уравнения \( 6\tan^2{x} - 5\tan{x} + 1 = 0 \)** будут: \[ x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + k\pi \quad \text{и} \quad x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Таким образом, мы завершили решение задачи! Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!