6tg²x-5tgx+1=0
Для решения уравнения \( 6\tan^2{x} - 5\tan{x} + 1 = 0 \) будем использовать подстановку. Давайте обозначим \( t = \tan{x} \). Таким образом, уравнение можно переписать как:
\[ 6t^2 - 5t + 1 = 0 \]
Теперь это квадратное уравнение, которое мы можем решить, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 6 \), \( b = -5 \), \( c = 1 \).
- Найдем дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 \]
- Вычислим корни уравнения:
Так как дискриминант положителен, у нас будут два различных корня:
\[ t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]
\[ t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]
Теперь у нас есть два значения для \( t \):
\[ t_1 = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{1}{3} \]
Так как мы обозначили \( t = \tan{x} \), можем записать:
- \( \tan{x} = \frac{1}{2} \)
- \( \tan{x} = \frac{1}{3} \)
Теперь найдём \( x \) для каждого из случаев.
Для \( \tan{x} = \frac{1}{2} \):
Найдём \( x \):
\[ x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \]
Это даст нам один из углов, находящихся в первой амплитуде. Не забудьте, что тангенс периодичен:
\[ x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Для \( \tan{x} = \frac{1}{3} \):
Аналогично:
\[ x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) \]
Также учитываем периодичность:
\[ x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Итак, окончательные решения уравнения \( 6\tan^2{x} - 5\tan{x} + 1 = 0 \) будут:
\[ x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + k\pi \quad \text{и} \quad x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Таким образом, мы завершили решение задачи! Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!
