Баржа прошла по течению реки 56 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5…

Для решения задачи используем информацию о движении баржи по течению и против течения реки. Давайте обозначим:

• \( v_b \) — собственная скорость баржи (км/ч).
• \( v_t = 5 \) км/ч — скорость течения реки.

Теперь определим скорости баржи в обеих частях пути:

1. При движении по течению:

   • Общая скорость баржи при движении по течению: \[ v_b + v_t = v_b + 5 \text{ км/ч} \]
   • Время, затраченное на путь по течению, можно найти как: \[ t_1 = \frac{56}{v_b + 5} \text{ ч} \]

2. При движении против течения:

   • Общая скорость баржи при движении против течения: \[ v_b - v_t = v_b - 5 \text{ км/ч} \]
   • Время, затраченное на путь против течения, можно найти как: \[ t_2 = \frac{54}{v_b - 5} \text{ ч} \]

3. Общее время в пути:

   • По условию задачи, общее время, затраченное на весь путь, составляет 5 часов: \[ t_1 + t_2 = 5 \] Подставим выражения для времени: \[ \frac{56}{v_b + 5} + \frac{54}{v_b - 5} = 5 \]

Теперь необходимо решить это уравнение для нахождения \( v_b \). Приведем его к общему знаменателю: \[ \frac{56(v_b - 5) + 54(v_b + 5)}{(v_b + 5)(v_b - 5)} = 5 \] Упростим числитель: \[ 56v_b - 280 + 54v_b + 270 = 5(v_b^2 - 25) \] Объединим и упростим: \[ 110v_b - 10 = 5v_b^2 - 125 \] Переносим все в одну сторону: \[ 5v_b^2 - 110v_b - 115 = 0 \] Теперь упростим уравнение, разделив его на 5: \[ v_b^2 - 22v_b - 23 = 0 \]

4. Находим корни квадратного уравнения: Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576 \] Теперь находим корни: \[ v_b = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{22 \pm 24}{2} \]

Получаем два корня: \[ v_b = \frac{46}{2} = 23 \quad \text{и} \quad v_b = \frac{-2}{2} = -1 \]

Поскольку скорость не может быть отрицательной, оставляем только положительное значение: \[ v_b = 23 \text{ км/ч} \]

Таким образом, собственная скорость баржи составляет 23 км/ч.