Давайте разберём предложенные задачи по теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными и их системы». Я объясню каждую задачу по порядку с детальными шагами.
1. Решить систему уравнений: 2x + y = 7 и x² - y = 1.
Шаг 1: Подставим выражение y из первого уравнения во второе.
Из первого уравнения выразим y:
[ y = 7 - 2x ]
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
[ x^2 - (7 - 2x) = 1 ]
Шаг 2: Упрощаем уравнение.
[ x^2 - 7 + 2x - 1 = 0 ]
[ x^2 + 2x - 8 = 0 ]
Шаг 3: Решаем квадратное уравнение.
Используем формулу корней квадратного уравнения:
[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
Здесь ( a = 1, b = 2, c = -8 ):
[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} ]
[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} ]
[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} ]
[ x = \frac{-2 \pm 6}{2} ]
Шаг 4: Находим значения x.
Откуда получаем два корня:
- ( x = \frac{4}{2} = 2 )
- ( x = \frac{-8}{2} = -4 )
Шаг 5: Находим соответствующие значения y.
Подставляем значения x обратно в первое уравнение:
- Для ( x = 2 ):
[ y = 7 - 2 \cdot 2 = 3 ]
- Для ( x = -4 ):
[ y = 7 - 2 \cdot (-4) = 15 ]
Ответ: Система уравнений имеет два решения: (2, 3) и (-4, 15).
2. Найти стороны прямоугольника, если его периметр равен 28 м, а площадь — 40 м².
Шаг 1: Запишем формулы.
Для прямоугольника периметр ( P ) и площадь ( S ) можно выразить как:
[
P = 2(a + b) = 28 \quad \text{(где a и b - стороны прямоугольника)}
]
[
S = a \cdot b = 40
]
Шаг 2: Упростим первую формулу.
Разделим периметр на 2:
[
a + b = 14
]
Теперь выразим одну сторону через другую:
[
b = 14 - a
]
Шаг 3: Подставим это значение во вторую формулу.
Теперь подставим b в формулу площади:
[
a \cdot (14 - a) = 40
]
Это дает нам квадратное уравнение:
[
14a - a^2 = 40 \implies a^2 - 14a + 40 = 0
]
Шаг 4: Решаем квадратное уравнение.
Используем формулу корней:
[
a = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}
]
[
a = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 160}}{2}
]
[
a = \frac{14 \pm \sqrt{36}}{2}
]
[
a = \frac{14 \pm 6}{2}
]
Шаг 5: Находим значения a.
- ( a = \frac{20}{2} = 10 )
- ( a = \frac{8}{2} = 4 )
Шаг 6: Находим соответствующее b.
Если ( a = 10 ), то ( b = 4 ).
Если ( a = 4 ), то ( b = 10 ).
Ответ: Стороны прямоугольника равны 10 м и 4 м.
3. Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств: ( x^2 + y^2 < 9 ) и ( y < x + 1 ).
Шаг 1: Первое неравенство — круг.
Неравенство ( x^2 + y^2 < 9 ) описывает круг с центром в начале координат (0, 0) и радиусом 3 (поскольку ( \sqrt{9} = 3 )). Вместо построения графика, представьте, что мы закрашиваем внутреннюю область круга с радиусом 3.
Шаг 2: Второе неравенство — прямая.
Неравенство ( y < x + 1 ) описывает область ниже прямой, которая проходит через точки (0, 1) и (1, 2).
Шаг 3: Определяем область пересечения.
Область решений будет находиться внутри круга и ниже прямой. Это можно визуально представить. Для обозначения решений используете штриховку: область пересечения будет закрашена.
Ответ: Множество решений — это область внутри круга с радиусом 3, находящаяся под прямой ( y = x + 1 ).
4. Без построения найти координаты точек пересечения параболы ( y = x^2 + 4 ) и прямой ( x + y = 6 ).
Шаг 1: Выразим y из уравнения прямой.
[
y = 6 - x
]
Шаг 2: Подставим это значение во второе уравнение.
[
6 - x = x^2 + 4
]
Шаг 3: Преобразуем уравнение.
[
x^2 + x + 4 - 6 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0
]
Шаг 4: Решим это квадратное уравнение.
[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}
]
[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \implies
x = \frac{-1 \pm 3}{2}
]
Шаг 5: Находим значения x.
- ( x = 1 )
- ( x = -2 )
Шаг 6: Находим соответствующие значения y.
- Для ( x = 1 ):
[
y = 6 - 1 = 5
]
- Для ( x = -2 ):
[
y = 6 - (-2) = 8
]
Ответ: Точки пересечения: (1, 5) и (-2, 8).
Таким образом, мы разобрали все предложенные задачи с подробными объяснениями. Если у вас есть дополнительные вопросы или потребуется помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
