Вариант 1 контрольной работы по теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными и их системы» может содержать следующие задания: Решить систему уравнений: 2x + y = 7, х2 - у =…

Давайте разберём предложенные задачи по теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными и их системы». Я объясню каждую задачу по порядку с детальными шагами.

1. Решить систему уравнений: 2x + y = 7 и x² - y = 1.

Шаг 1: Подставим выражение y из первого уравнения во второе.

Из первого уравнения выразим y: \[ y = 7 - 2x \]

Теперь подставим это значение во второе уравнение: \[ x^2 - (7 - 2x) = 1 \]

Шаг 2: Упрощаем уравнение. \[ x^2 - 7 + 2x - 1 = 0 \] \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение.

Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \( a = 1, b = 2, c = -8 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm 6}{2} \]

Шаг 4: Находим значения x. Откуда получаем два корня:

1. \( x = \frac{4}{2} = 2 \)
2. \( x = \frac{-8}{2} = -4 \)

Шаг 5: Находим соответствующие значения y.

Подставляем значения x обратно в первое уравнение:

1. Для \( x = 2 \): \[ y = 7 - 2 \cdot 2 = 3 \]
2. Для \( x = -4 \): \[ y = 7 - 2 \cdot (-4) = 15 \]

Ответ: Система уравнений имеет два решения: (2, 3) и (-4, 15).

---

2. Найти стороны прямоугольника, если его периметр равен 28 м, а площадь — 40 м².

Шаг 1: Запишем формулы.

Для прямоугольника периметр \( P \) и площадь \( S \) можно выразить как: \[ P = 2(a + b) = 28 \quad \text{(где a и b - стороны прямоугольника)} \] \[ S = a \cdot b = 40 \]

Шаг 2: Упростим первую формулу.

Разделим периметр на 2: \[ a + b = 14 \] Теперь выразим одну сторону через другую: \[ b = 14 - a \]

Шаг 3: Подставим это значение во вторую формулу.

Теперь подставим b в формулу площади: \[ a \cdot (14 - a) = 40 \] Это дает нам квадратное уравнение: \[ 14a - a^2 = 40 \implies a^2 - 14a + 40 = 0 \]

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение.

Используем формулу корней: \[ a = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1} \] \[ a = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 160}}{2} \] \[ a = \frac{14 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ a = \frac{14 \pm 6}{2} \]

Шаг 5: Находим значения a.

1. \( a = \frac{20}{2} = 10 \)
2. \( a = \frac{8}{2} = 4 \)

Шаг 6: Находим соответствующее b. Если \( a = 10 \), то \( b = 4 \).

Если \( a = 4 \), то \( b = 10 \).

Ответ: Стороны прямоугольника равны 10 м и 4 м.

---

3. Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств: \( x^2 + y^2 < 9 \) и \( y < x + 1 \).

Шаг 1: Первое неравенство — круг. Неравенство \( x^2 + y^2 < 9 \) описывает круг с центром в начале координат (0, 0) и радиусом 3 (поскольку \( \sqrt{9} = 3 \)). Вместо построения графика, представьте, что мы закрашиваем внутреннюю область круга с радиусом 3.

Шаг 2: Второе неравенство — прямая. Неравенство \( y < x + 1 \) описывает область ниже прямой, которая проходит через точки (0, 1) и (1, 2).

Шаг 3: Определяем область пересечения. Область решений будет находиться внутри круга и ниже прямой. Это можно визуально представить. Для обозначения решений используете штриховку: область пересечения будет закрашена.

Ответ: Множество решений — это область внутри круга с радиусом 3, находящаяся под прямой \( y = x + 1 \).

---

4. Без построения найти координаты точек пересечения параболы \( y = x^2 + 4 \) и прямой \( x + y = 6 \).

Шаг 1: Выразим y из уравнения прямой. \[ y = 6 - x \]

Шаг 2: Подставим это значение во второе уравнение. \[ 6 - x = x^2 + 4 \]

Шаг 3: Преобразуем уравнение. \[ x^2 + x + 4 - 6 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0 \]

Шаг 4: Решим это квадратное уравнение. \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \implies x = \frac{-1 \pm 3}{2} \]

Шаг 5: Находим значения x.

1. \( x = 1 \)
2. \( x = -2 \)

Шаг 6: Находим соответствующие значения y.

1. Для \( x = 1 \): \[ y = 6 - 1 = 5 \]
2. Для \( x = -2 \): \[ y = 6 - (-2) = 8 \]

Ответ: Точки пересечения: (1, 5) и (-2, 8).

Таким образом, мы разобрали все предложенные задачи с подробными объяснениями. Если у вас есть дополнительные вопросы или потребуется помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!