Давайте решим задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Упростим выражение
Выражение, которое нужно вычислить: ( 2 \sqrt{27} \cos(1110^\circ) ).
Шаг 2: Найдем значение ( \sqrt{27} )
Сначала упростим ( \sqrt{27} ):
[
\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}.
]
Теперь подставим это значение в выражение:
[
2 \sqrt{27} = 2 \cdot 3 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}.
]
Шаг 3: Найдем значение ( \cos(1110^\circ) )
Теперь нам нужно вычислить ( \cos(1110^\circ) ). Для этого сначала упростим угол.
Угол ( 1110^\circ ) можно представить в пределах от ( 0^\circ ) до ( 360^\circ ) путем вычитания ( 360^\circ ):
[
1110^\circ - 3 \cdot 360^\circ = 1110^\circ - 1080^\circ = 30^\circ.
]
Итак,
[
\cos(1110^\circ) = \cos(30^\circ).
]
Шаг 4: Используем значение ( \cos(30^\circ) )
Из тригонометрии известно, что:
[
\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}.
]
Шаг 5: Подставим значение ( \cos(1110^\circ) ) в выражение
Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:
[
6 \sqrt{3} \cdot \cos(1110^\circ) = 6 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
]
Шаг 6: Упростим итоговое выражение
Упрощаем:
[
6 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{3}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9.
]
Ответ
Значение выражения ( 2 \sqrt{27} \cos(1110^\circ) ) равно ( 9 ).
