Чтобы найти значение выражения ( 2 \sqrt{27} \cos(1110^\circ) ), давайте сначала разложим его на составные части и решим по шагам.
Шаг 1: Упростим ( \sqrt{27} )
Значение ( \sqrt{27} ) можно упростить:
[
\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}
]
Таким образом, ( 2 \sqrt{27} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} ).
Шаг 2: Найдем ( \cos(1110^\circ) )
Теперь нам нужно найти ( \cos(1110^\circ) ). Угол в 1110° больше 360°, поэтому мы можем вычесть 360°:
[
1110^\circ - 360^\circ = 750^\circ
]
Так как 750° также больше 360°, вычтем 360° еще раз:
[
750^\circ - 360^\circ = 390^\circ
]
И, наконец, вычтем 360° еще раз:
[
390^\circ - 360^\circ = 30^\circ
]
Таким образом, ( \cos(1110^\circ) = \cos(30^\circ) ).
Мы знаем, что:
[
\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Шаг 3: Подставляем и считаем окончательный результат
Теперь мы подставляем это значение обратно в наше выражение:
[
2\sqrt{27} \cos(1110^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Упрощаем это:
[
6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{3}{2} = \frac{18}{2} = 9
]
Ответ
Таким образом, значение выражения ( 2\sqrt{27} \cos(1110^\circ) ) равно ( 9 ).
