Найдите промежуток возрастания функции y = 2x2 –7x + 9.
Чтобы найти промежуток возрастания функции \( y = 2x^2 - 7x + 9 \), нужно выполнить следующие шаги.
Шаг 1: Найти производную функции
Для начала найдем производную данной функции. Производная показывает, как изменяется функция и позволяет определить, где она возрастает или убывает.
Производная функции \( y = 2x^2 - 7x + 9 \) будет:
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(7x) + \frac{d}{dx}(9) = 4x - 7 \]
Шаг 2: Найти критические точки
Теперь установим производную равной нулю, чтобы найти критические точки:
\[ 4x - 7 = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ 4x = 7 \\ x = \frac{7}{4} = 1.75 \]
Шаг 3: Определить знаки производной
Теперь мы должны проанализировать знак производной \( y' \) на интервалах, определенных критической точкой \( x = \frac{7}{4} \). Для этого рассмотрим два интервала:
- \( x < \frac{7}{4} \)
- \( x > \frac{7}{4} \)
Выберем тестовые значения из каждого интервала.
Для интервала \( x < \frac{7}{4} \) (например, \( x = 1 \)): \[ y' = 4(1) - 7 = 4 - 7 = -3 \quad (\text{меньше 0, функция убывает}) \]
Для интервала \( x > \frac{7}{4} \) (например, \( x = 2 \)): \[ y' = 4(2) - 7 = 8 - 7 = 1 \quad (\text{больше 0, функция возрастает}) \]
Шаг 4: Определить промежуток возрастания
Функция возрастает на интервале \( x > \frac{7}{4} \). Таким образом, можно записать ответ:
\[ \text{Функция возрастает на промежутке } \left( \frac{7}{4}, +\infty \right). \]
Итог
Функция \( y = 2x^2 - 7x + 9 \) возрастает на промежутке \( \left( \frac{7}{4}, +\infty \right) \).
