Чтобы найти промежуток возрастания функции ( y = 2x^2 - 7x + 9 ), нужно выполнить следующие шаги.
Шаг 1: Найти производную функции
Для начала найдем производную данной функции. Производная показывает, как изменяется функция и позволяет определить, где она возрастает или убывает.
Производная функции ( y = 2x^2 - 7x + 9 ) будет:
[
y' = \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(7x) + \frac{d}{dx}(9) = 4x - 7
]
Шаг 2: Найти критические точки
Теперь установим производную равной нулю, чтобы найти критические точки:
[
4x - 7 = 0
]
Решим это уравнение:
[
4x = 7 \
x = \frac{7}{4} = 1.75
]
Шаг 3: Определить знаки производной
Теперь мы должны проанализировать знак производной ( y' ) на интервалах, определенных критической точкой ( x = \frac{7}{4} ). Для этого рассмотрим два интервала:
- ( x < \frac{7}{4} )
- ( x > \frac{7}{4} )
Выберем тестовые значения из каждого интервала.
Для интервала ( x < \frac{7}{4} ) (например, ( x = 1 )):
[
y' = 4(1) - 7 = 4 - 7 = -3 \quad (\text{меньше 0, функция убывает})
]
Для интервала ( x > \frac{7}{4} ) (например, ( x = 2 )):
[
y' = 4(2) - 7 = 8 - 7 = 1 \quad (\text{больше 0, функция возрастает})
]
Шаг 4: Определить промежуток возрастания
Функция возрастает на интервале ( x > \frac{7}{4} ). Таким образом, можно записать ответ:
[
\text{Функция возрастает на промежутке } \left( \frac{7}{4}, +\infty \right).
]
Итог
Функция ( y = 2x^2 - 7x + 9 ) возрастает на промежутке ( \left( \frac{7}{4}, +\infty \right) ).
