Для решения задачи о прямоугольном треугольнике, где катеты относятся как (3:4) и гипотенуза равна (50 , \text{мм}), давайте рассмотрим все шаги подробно.
Шаг 1: Определение длины катетов
Обозначим катеты прямоугольного треугольника как (a) и (b). Пусть (a) — меньший катет, который относится к большему катету (b) как (3:4). Таким образом, можем записать:
[
\frac{a}{b} = \frac{3}{4}
]
Также, можем выразить (b) через (a):
[
b = \frac{4}{3}a
]
Теперь, используя теорему Пифагора, мы знаем, что:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
где (c) — гипотенуза, равная (50 , \text{мм}). Подставим значение (b):
[
a^2 + \left(\frac{4}{3}a\right)^2 = 50^2
]
Шаг 2: Подсчет значений
Приведём выражение к общему виду:
[
a^2 + \frac{16}{9}a^2 = 2500
]
Теперь объединим (a^2):
[
\left(1 + \frac{16}{9}\right)a^2 = 2500
]
Преобразуем это уравнение:
[
\frac{25}{9}a^2 = 2500
]
Теперь умножим обе стороны на (\frac{9}{25}):
[
a^2 = 2500 \cdot \frac{9}{25}
]
[
a^2 = 900 \quad \Rightarrow \quad a = 30 , \text{мм}
]
Используем значение (a) для нахождения (b):
[
b = \frac{4}{3} \cdot 30 = 40 , \text{мм}
]
Шаг 3: Определение высоты и точек деления
Теперь, когда мы знаем, что (a = 30 , \text{мм}) и (b = 40 , \text{мм}), можно найти высоту, проведенную из вершины прямого угла (то есть, высоту (h)). Высота треугольника делит гипотенузу на два отрезка, обозначим их как (m) и (n).
Шаг 4: Применение формулы для высоты
Высота (h) может быть вычислена по формуле:
[
h = \frac{ab}{c}
]
Подставим найденные значения:
[
h = \frac{30 \cdot 40}{50} = \frac{1200}{50} = 24 , \text{мм}
]
Шаг 5: Отрезки гипотенузы
Теперь можно найти (m) и (n):
Поскольку катеты относятся как (3:4), так и отрезки высоты поделятся в том же соотношении:
[
\frac{m}{n} = \frac{3}{4}
]
Обозначим:
[
m = 3k \quad \text{и} \quad n = 4k
]
Зная, что (m + n = c):
[
3k + 4k = 50 \quad \Rightarrow \quad 7k = 50 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{50}{7}
]
Теперь найдем (m) и (n):
[
m = 3k = 3 \cdot \frac{50}{7} \approx 21.43 , \text{мм}
]
[
n = 4k = 4 \cdot \frac{50}{7} \approx 28.57 , \text{мм}
]
Итог
Таким образом, отрезки на которых гипотенуза делится высотой проведённой из вершины прямого угла:
- (m \approx 21.43 , \text{мм})
- (n \approx 28.57 , \text{мм})
Пока что все шаги решены! Если есть дополнительные вопросы или нужно что-то объяснить подробнее, не стесняйтесь спрашивать!
