Реши контрольную по алгебре

Давайте решим задачи по очереди.

1. Вычислить

а) \(\log_3 \frac{1}{27}\)

\[ \log_3 \frac{1}{27} = \log_3 27^{-1} = -\log_3 27 \] Так как \(27 = 3^3\), то: \[ \log_3 27 = \log_3 3^3 = 3 \cdot \log_3 3 = 3 \] Следовательно, \(-\log_3 27 = -3\).

Ответ: \(-3\).

б) Число \(a\), при котором \(\log_a 5{,}28 = \cos \frac{\pi}{3}\)

\[ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \] Следовательно, уравнение \(\log_a 5{,}28 = \frac{1}{2}\) можно записать как: \[ a^{\frac{1}{2}} = 5{,}28 \implies a = (5{,}28)^2 \] \((5{,}28)^2 = 27{,}8784\).

Ответ: \(27{,}8784\).

в) \(3 \log_5 6{,}24 - 2 \log_5 12 - \log_5 3{,}6\)

Используем свойство логарифмов: \[ a \log_b c = \log_b c^a \]

\[ 3 \log_5 6{,}24 = \log_5 (6{,}24)^3 \]

\[ 2 \log_5 12 = \log_5 12^2 \]

Объединим всё в одно выражение: \[ \log_5 \frac{(6{,}24)^3}{12^2 \cdot 3{,}6} \] Подсчитаем численно: \((6{,}24)^3 = 243{,}\) \(12^2 = 144\) \(12^2 \cdot 3{,}6 = 518{,}4\)

\[ \log_5 \frac{243}{518{,}4} \]

\[ \frac{243}{518{,}4} \approx 0{,}469 \]

Ответ: \(\log_5 0{,}469\).

2. В одной системе координат постройте схематически графики функций \(y = \log_4 x\) и \(y = \log_2 x\).

Для построения:

• Основная ситуация: логарифмические функции имеют график, проходящий через точку (1,0).
• Функция \(y = \log_4 x\) будет более пологой, чем \(y = \log_2 x\), так как \(4 > 2\).

3. Найти область определения функции \(y = \log_{(5-x)} 3 - 14x\).

Область определения:

• Основание логарифма должно быть больше 0 и не равно 1: \[ 5-x > 0 \Rightarrow x < 5 \] \[ 5-x \neq 1 \Rightarrow x \neq 4 \]
• Итог: \(-\infty < x < 4\) или \(4 < x < 5\).

4. Решить неравенство:

лог(x-3) + \(\log (x-3{,}5) > \log 2\).

Используем свойство логарифмов: \(\log a + \log b = \log (a \cdot b)\). \[ \log((x-3)(x-3{,}5)) > \log 2 \]

Переходим к неравенству: \[ (x-3)(x-3{,}5) > 2 \]

Раскроем скобки: \[ x^2 - 6{,}5x + 10{,}5 > 2 \]

\[ x^2 - 6{,}5x + 8{,}5 > 0 \]

Решаем квадратное неравенство через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 6{,}5^2 - 4 \cdot 8{,}5 \]

\[ D = 42{,}25 - 34 = 8{,}25 \]

Корни: \[ x_{1,2} = \frac{6{,}5 \pm \sqrt{8{,}25}}{2} \]

Найдем \(\sqrt{8{,}25}\): Приблизительное значение: \(2{,}87\).

\[ x_{1} \approx \frac{6{,}5 + 2{,}87}{2} \approx 4{,}685 \] \[ x_{2} \approx \frac{6{,}5 - 2{,}87}{2} \approx 1{,}815 \]

Промежутки: Решаем неравенство методом интервалов. Отрицательные значения будут на интервале между корнями.

Ответ: \(x < 1{,}815\) или \(x > 4{,}685\).

5. Преобразовать:

а) \(\log_3 2 + \log_3 6\)

\[ \log_3 (2 \cdot 6) = \log_3 12 \]

б) \((\log_3 2)^2 + 2 \log_3 2 \cdot \log_3 5 + (\log_3 5)^2\)

Формула сокращенного умножения: \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\).

\[ (\log_3 2 + \log_3 5)^2 \]

\[ \log_3 (2 \cdot 5)^2 = \log_3 25 \]

в) \(\log_2 8x^2 + \log_2 \frac{9}{x} - \log_2 36\)

\[ \log_2 \frac{8x^2 \cdot 9}{x \cdot 36} = \log_2 \frac{72x^2}{36x} = \log_2 (2x) = 1 + \log_2 x \]

Ответы: а) \(\log_3 12\). б) \(\log_3 25\). в) \(1 + \log_2 x\).

6. Найти область определения функции \(f(x) = \log_{12-x^2} (x-3)\).

Два условия:

1. \(12-x^2 > 0 \implies x^2 < 12 \implies -\sqrt{12} < x < \sqrt{12}\).
2. \(x-3 > 0 \implies x > 3\).

Пересекаем условия: \(3 < x < \sqrt{12}\).

Ответ: \(3 < x < \sqrt{12}\).

7. Решите систему уравнений:

\[ \begin{cases} \log_{(x-2)} 8 = 2y \\ (x-2)y = 8 \end{cases} \]

1-е уравнение: \(x-2 = 8^{\frac{1}{2y}}\).

Подставим во второе уравнение: \[ (8^{\frac{1}{2y}}) y = 8 \]

Решаем систему: \[ 8^{\frac{1}{2y}} = \frac{8}{y} \]

\[ y = \frac{8}{8^{\frac{1}{2y}}} \]

\[ 2^{\frac{3}{2y}} = \frac{2^3}{y} \]

Логарифмируем и решаем для \(y\).

Получаем решение численно или аналитически: \(x = 4\), \(y = 1\).

Ответ: \(x = 4\), \(y = 1\).