Укажите верное утверждение: а) при умножении матрицы на обратную к ней получаем единичную матрицу
Чтобы понять, верно ли утверждение, давайте рассмотрим, что такое обратные матрицы и что происходит при их умножении.
Что такое обратная матрица?
Обратная матрица к матрице \( A \) обозначается как \( A^{-1} \). Она существует только для квадратных матриц (матриц с одинаковым числом строк и столбцов) и для тех, которые имеют определитель, отличный от нуля.
Умножение матрицы на её обратную
Теперь рассмотрим умножение матрицы \( A \) на её обратную матрицу \( A^{-1} \):
\[ A \cdot A^{-1} = I \]
где \( I \) — это единичная матрица. Единичная матрица имеет такие свойства:
- Все элементы на главной диагонали равны 1 (то есть \( I_{ii} = 1 \)).
- Все остальные элементы равны 0 (то есть \( I_{ij} = 0 \) для \( i \neq j \)).
Пошаговое объяснение
Имеем матрицу \( A \): Например, пусть \( A \) — это квадратная матрица: \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]
Обратная матрица \( A^{-1} \): Существует формула для матрицы размера 2x2: \[ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] при условии, что \( ad - bc \neq 0 \) (это означает, что определитель матрицы не равен нулю).
Умножение: Когда мы умножаем \( A \) на \( A^{-1} \), мы получаем: \[ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]
В результате этого умножения, после вычислений, получится единичная матрица \( I \).
Вывод
Таким образом, утверждение "при умножении матрицы на обратную к ней получаем единичную матрицу" является верным. Каждый раз, когда вы умножаете матрицу на её обратную, результатом будет единичная матрица, что и подтверждает данное утверждение.
