Укажите верное утверждение: а) при умножении матрицы на обратную к ней получаем единичную матрицу

Чтобы понять, верно ли утверждение, давайте рассмотрим, что такое обратные матрицы и что происходит при их умножении. ### Что такое обратная матрица? Обратная матрица к матрице \( A \) обозначается как \( A^{-1} \). Она существует только для квадратных матриц (матриц с одинаковым числом строк и столбцов) и для тех, которые имеют определитель, отличный от нуля. ### Умножение матрицы на её обратную Теперь рассмотрим умножение матрицы \( A \) на её обратную матрицу \( A^{-1} \): \[ A \cdot A^{-1} = I \] где \( I \) — это единичная матрица. Единичная матрица имеет такие свойства: - Все элементы на главной диагонали равны 1 (то есть \( I_{ii} = 1 \)). - Все остальные элементы равны 0 (то есть \( I_{ij} = 0 \) для \( i \neq j \)). ### Пошаговое объяснение 1. **Имеем матрицу \( A \)**: Например, пусть \( A \) — это квадратная матрица: \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \] 2. **Обратная матрица \( A^{-1} \)**: Существует формула для матрицы размера 2x2: \[ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] при условии, что \( ad - bc \neq 0 \) (это означает, что определитель матрицы не равен нулю). 3. **Умножение**: Когда мы умножаем \( A \) на \( A^{-1} \), мы получаем: \[ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] В результате этого умножения, после вычислений, получится единичная матрица \( I \). ### Вывод Таким образом, утверждение "при умножении матрицы на обратную к ней получаем единичную матрицу" является верным. Каждый раз, когда вы умножаете матрицу на её обратную, результатом будет единичная матрица, что и подтверждает данное утверждение.