Реши контрольную по алгебре

Давайте разберемся с задачами из контрольной по алгебре, посвященной логарифмической функции.

Задача 1: Вычислить

1. \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{27}\)

Формула логарифма: если \(\log_a b = x\), это значит, что \(a^x = b\).

Для \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{27} = x\) получаем:

\((\frac{1}{2})^x = \frac{1}{27}\).

Полезно помнить, что можно выражать дроби как степени:

• \(\frac{1}{27} = 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}\).

Для решения уравнения можно выразить все в одной базе:

\((2^x)^{-1} = 3^{-3}\) → \(2^{-x} = 3^{-3}\).

Теперь мы видим, что переменная сумма отличается:

-x log(2) = -3 log(3)

xlog(2) = 3log(3)

Таким образом:

x = 3 * (log(3) / log(2)) = 3 * (1.585/0.301) = 3 * 5.268 = 15.804

Ответ: \(\approx 15.804\)

Задача 2: В одной системе координат схематически построить графики функций \(y = \log_4 x\) и \(y = \log_x 4\).

График \(y = \log_4 x\)

• Это логарифмическая функция с основанием 4. Для построения подберите несколько точек:

  • \(x = 1, y = \log_4 1 = 0\)
  • \(x = 4, y = \log_4 4 = 1\)
  • \(x = 16, y = \log_4 16 = 2\)

График \(y = \log_x 4\)

Используем связанное свойство логарифма \(\log_x 4 = \frac{1}{\log_4 x}\). Подберем те же точки.

Задача 3: Найти область определения функции \(y = \log(x^2 - 5x + 4)\).

Условие области определения логарифмической функции: аргумент должен быть больше 0.

• \(x^2 - 5x + 4 > 0\)

Найдем корни квадратного уравнения: \(x^2 - 5x + 4 = 0\).

Дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\]

Корни:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2}\]

\[x_1 = 4, \quad x_2 = 1\]

Промежутки определения:

\(x \in (-\infty, 1) \cup (4, +\infty)\).

Задача 4: Найти производные

1. \( \log_5(3x^2 + \frac{4}{x}) \).

Для логарифмической функции \(\log_a f(x)\), производная:

\(\frac{d}{dx} = \frac{1}{f(x) \ln a} \cdot f'(x)\).

\[f(x) = 3x^2 + \frac{4}{x}, \quad f'(x) = 6x - \frac{4}{x^2}\]

Производная:

\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{(3x^2 + \frac{4}{x}) \ln 5} \cdot (6x - \frac{4}{x^2})\]

Задача 5, 6 и 7

• Необходимы более точные определения для расчета этих задач для их проведения.

Я готов помочь вам с дополнительными деталями које нужно будет подробнее проработать.