у=х²-4х-5
Чтобы понять, как работать с уравнением \( y = x^2 - 4x - 5 \), давайте разберёмся с ним шаг за шагом.
1. Определение уравнения
Это уравнение является квадратичным, потому что у него есть член \( x^2 \). Общая форма квадратичного уравнения — это \( ax^2 + bx + c \), где:
- \( a = 1 \) (коэффициент при \( x^2 \)),
- \( b = -4 \) (коэффициент при \( x \)),
- \( c = -5 \) (свободный член).
2. График квадратичной функции
График квадратичной функции — это парабола. Давайте рассмотрим, как её построить.
Шаг 1: Найдем вершину параболы
Вершина параболы находится по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Подставляем \( b = -4 \) и \( a = 1 \): \[ x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]
Чтобы найти координаты вершины по \( y \), подставим \( x_v \) в уравнение: \[ y_v = (2)^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (2, -9) \).
Шаг 2: Находим корни уравнения
Корни уравнения можно найти, если упростить уравнение до нуля: \[ 0 = x^2 - 4x - 5 \]
Мы можем использовать формулу корней для квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставляем значения \( a = 1, b = -4, c = -5 \): \[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 6}{2} \]
Теперь находим два значения:
- \( x_1 = \frac{10}{2} = 5 \)
- \( x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \)
Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -1 \).
3. Построение графика
Теперь мы можем построить график функции \( y = x^2 - 4x - 5 \):
- Вершина: \( (2, -9) \)
- Корни: \( (-1, 0) \) и \( (5, 0) \)
На графике парабола будет направлена вверх, так как коэффициент \( a \) положительный. Мы также можем отметить ось симметрии, которая проходит через вершину \( x = 2 \).
4. Значение функции
Для других значений \( x \) можно подставить их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения \( y \) и дополнительно уточнить график.
Заключение
Теперь вы понимаете, как работает квадратичное уравнение и как его анализировать! Мы рассмотрели, как найти вершину, корни и составить график. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
