Точки A, B, C и D имеют следующие координаты: A(2;3), B(-2;6), C(-6;-1), D(3;-4). Найдите скалярное произведение векторов AC и BD. Найдите угол (в градусах) между векторами AC и…

Для решения задачи найдем векторы AC и BD, а затем вычислим их скалярное произведение и угол между ними. Давайте начнем пошагово.

Шаг 1: Найти координаты векторов AC и BD

Вектор AC можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки C:

• \( AC = C - A = (-6; -1) - (2; 3) = (-6 - 2; -1 - 3) = (-8; -4) \)

Вектор BD можно найти аналогично:

• \( BD = D - B = (3; -4) - (-2; 6) = (3 + 2; -4 - 6) = (5; -10) \)

Теперь у нас есть два вектора:

• \( AC = (-8; -4) \)
• \( BD = (5; -10) \)

Шаг 2: Найти скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов можно вычислить по формуле: \[ AC \cdot BD = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 \] Где \( x_1 \) и \( y_1 \) — компоненты вектора AC, а \( x_2 \) и \( y_2 \) — компоненты вектора BD.

Подставляем значения: \[ AC \cdot BD = (-8) \cdot 5 + (-4) \cdot (-10) = -40 + 40 = 0 \]

Шаг 3: Найти угол между векторами

Угол \( \theta \) между двумя векторами можно найти с помощью формулы: \[ \cos(\theta) = \frac{AC \cdot BD}{|AC| \cdot |BD|} \] Где \( |AC| \) и \( |BD| \) — длины векторов.

Находим длину векторов AC и BD:

• \( |AC| = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \)
• \( |BD| = \sqrt{(5)^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \)

Теперь подставляем в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{0}{(4\sqrt{5}) \cdot (5\sqrt{5})} = 0 \]

Когда \( \cos(\theta) = 0 \), это означает, что угол между векторами равен \( 90^\circ \).

Итог

• Скалярное произведение векторов AC и BD равно 0.
• Угол между векторами AC и BD равен 90 градусов.

Таким образом, векторы AC и BD перпендикулярны друг другу.