Для решения задачи найдем векторы AC и BD, а затем вычислим их скалярное произведение и угол между ними. Давайте начнем пошагово.
Шаг 1: Найти координаты векторов AC и BD
Вектор AC можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки C:
- ( AC = C - A = (-6; -1) - (2; 3) = (-6 - 2; -1 - 3) = (-8; -4) )
Вектор BD можно найти аналогично:
- ( BD = D - B = (3; -4) - (-2; 6) = (3 + 2; -4 - 6) = (5; -10) )
Теперь у нас есть два вектора:
- ( AC = (-8; -4) )
- ( BD = (5; -10) )
Шаг 2: Найти скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов можно вычислить по формуле:
[
AC \cdot BD = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2
]
Где ( x_1 ) и ( y_1 ) — компоненты вектора AC, а ( x_2 ) и ( y_2 ) — компоненты вектора BD.
Подставляем значения:
[
AC \cdot BD = (-8) \cdot 5 + (-4) \cdot (-10) = -40 + 40 = 0
]
Шаг 3: Найти угол между векторами
Угол ( \theta ) между двумя векторами можно найти с помощью формулы:
[
\cos(\theta) = \frac{AC \cdot BD}{|AC| \cdot |BD|}
]
Где ( |AC| ) и ( |BD| ) — длины векторов.
Находим длину векторов AC и BD:
- ( |AC| = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} )
- ( |BD| = \sqrt{(5)^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} )
Теперь подставляем в формулу:
[
\cos(\theta) = \frac{0}{(4\sqrt{5}) \cdot (5\sqrt{5})} = 0
]
Когда ( \cos(\theta) = 0 ), это означает, что угол между векторами равен ( 90^\circ ).
Итог
- Скалярное произведение векторов AC и BD равно 0.
- Угол между векторами AC и BD равен 90 градусов.
Таким образом, векторы AC и BD перпендикулярны друг другу.
