Построить график у =-2х2 +8х+5 и написать её свойства

Чтобы построить график функции \( y = -2x^2 + 8x + 5 \) и рассмотреть ее свойства, следуем следующим шагам:

1. Определение типа функции

Функция \( y = ax^2 + bx + c \) является квадратичной, где:

• \( a = -2 \) (коэффициент при \( x^2 \)),
• \( b = 8 \) (коэффициент при \( x \)),
• \( c = 5 \) (свободный член).

Поскольку \( a < 0 \), это указывает на то, что график будет иметь форму перевернутой параболы (открывается вниз).

2. Найдем координаты вершины параболы

Координаты вершины параболы можно найти с помощью формул:

• \( x_v = -\frac{b}{2a} \)
• \( y_v = f(x_v) \)

Подставляем значения \( a \) и \( b \): \[ x_v = -\frac{8}{2 \cdot -2} = \frac{8}{4} = 2 \]

Теперь найдем \( y_v \): \[ y_v = -2(2^2) + 8(2) + 5 \] \[ y_v = -2(4) + 16 + 5 = -8 + 16 + 5 = 13 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (2, 13) \).

3. Найдем корни функции (пересечения с осью X)

Чтобы найти корни уравнения, решим \( 0 = -2x^2 + 8x + 5 \): \[ -2x^2 + 8x + 5 = 0 \] Умножим уравнение на -1: \[ 2x^2 - 8x - 5 = 0 \]

Теперь применяем формулу для поиска корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где:

• \( a = 2 \),
• \( b = -8 \),
• \( c = -5 \).

Подставляем значения: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 40}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{104}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{26}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{26}}{2} \]

Таким образом, корни уравнения: \[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{26}}{2}, \quad x_2 = \frac{2 - \sqrt{26}}{2} \]

4. Найдем значение функции при \( x = 0 \) (пересечение с осью Y)

Чтобы найти пересечение с осью Y, подставим \( x = 0 \): \[ y(0) = -2(0^2) + 8(0) + 5 = 5 \] Таким образом, точка пересечения с осью Y: \( (0, 5) \).

5. Свойства функции

• Вершина: \( (2, 13) \) (максимум, так как парабола открыта вниз).
• Корни (пересечения с осью X): \( x_1 = \frac{2 + \sqrt{26}}{2}, \quad x_2 = \frac{2 - \sqrt{26}}{2} \) (2 числа).
• Пересечение с осью Y: \( (0, 5) \).
• Направление ветвей: Ветви параболы направлены вниз.
• Ограниченность значений: Значения функции ограничены сверху, максимум равен \( 13 \) (то есть \( y \leq 13 \)).

6. Построение графика

Для построения графика используйте найденные точки:

• Вершина: \( (2, 13) \)
• Пересечение с осью Y: \( (0, 5) \)
• Корни: используйте приближенные значения для построения графика.

Сначала отложите точки на координатной плоскости и затем нарисуйте параболу, которая протекает через эти точки.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели функцию \( y = -2x^2 + 8x + 5 \), нашли её свойства, включая вершину, пересечения с осями и направление ветвей. Теперь у вас есть полное представление о функции и готовая информация для анализа!