Для решения данной задачи давайте разберёмся с вероятностями решения задач участниками и расчетами, которые необходимо выполнить.
Шаг 1: Определение вероятностей для каждого участника
Согласно условию:
- Вероятность того, что первый участник решит задачу (P_1 = 0,5)
- Вероятность того, что второй участник решит задачу (P_2 = 0,6)
- Вероятность того, что третий участник решит задачу (P_3 = 0,8)
Шаг 2: Вероятности решения двух задач
Для того чтобы найти вероятность того, что участник решит обе задачи, нам нужно учитывать, что вероятность решения каждой задачи для участника независима. То есть вероятность решения двух задач будет равна произведению вероятностей решения каждой из них.
Таким образом:
Для первого участника:
[
P(A_1) = P_1 \cdot P_1 = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25
]
Для второго участника:
[
P(A_2) = P_2 \cdot P_2 = 0,6 \cdot 0,6 = 0,36
]
Для третьего участника:
[
P(A_3) = P_3 \cdot P_3 = 0,8 \cdot 0,8 = 0,64
]
Шаг 3: Находим общую вероятность
Теперь, поскольку один из трех участников выбирается случайно, вероятность того, что обе задачи будут решены, можно вычислить, взяв среднее значение вероятностей решения обоих задач каждым участником.
Общая вероятность (P(A)):
[
P(A) = \frac{1}{3}(P(A_1) + P(A_2) + P(A_3)) = \frac{1}{3}(0,25 + 0,36 + 0,64)
]
Шаг 4: Считаем сумму вероятностей
Сложим вероятности:
[
0,25 + 0,36 + 0,64 = 1,25
]
Шаг 5: Подставим в формулу
Теперь подставим в формулу:
[
P(A) = \frac{1}{3} \cdot 1,25 = \frac{1,25}{3}
]
Шаг 6: Приведение к дроби
Теперь преобразуем (1,25) в дробь:
[
1,25 = \frac{5}{4}
]
Следовательно, получаем:
[
P(A) = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{12}
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что обе задачи будут решены, равна:
[
\boxed{\frac{5}{12}}
]
