Решите неравенство. В ответ запишите количество натуральных чисел, являющихся решениями данного неравенства.

Чтобы решить неравенство

\[ \frac{x^2 - 4}{(x+2)(x-4)} \leq 0, \]

следуем шагам:

Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя.

1. Числитель: \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \).

   • Нули: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

2. Знаменатель: \( (x+2)(x-4) \).

   • Нули: \( x = -2 \) и \( x = 4 \).

Шаг 2: Найдем критические точки.

Критические точки: \( x = -2, 2, 4 \).

Шаг 3: Разделим числовую прямую на интервалы.

Эти точки делят числовую прямую на интервалы:

• \( (-\infty, -2) \)
• \( (-2, 2) \)
• \( (2, 4) \)
• \( (4, \infty) \)

Шаг 4: Проверим знак выражения на каждом интервале.

1. Интервал \( (-\infty, -2) \):
   Возьмём \( x = -3 \):

   \(\frac{(-3-2)(-3+2)}{(-3+2)(-3-4)} = \frac{(-5)(-1)}{(-1)(-7)} > 0\).

2. Интервал \( (-2, 2) \):
   Возьмём \( x = 0 \):

   \(\frac{(0-2)(0+2)}{(0+2)(0-4)} = \frac{(-2)(2)}{(2)(-4)} > 0\).

3. Интервал \( (2, 4) \):
   Возьмём \( x = 3 \):

   \(\frac{(3-2)(3+2)}{(3+2)(3-4)} = \frac{(1)(5)}{(5)(-1)} < 0\).

4. Интервал \( (4, \infty) \):
   Возьмём \( x = 5 \):

   \(\frac{(5-2)(5+2)}{(5+2)(5-4)} > 0\).

Шаг 5: Учитываем границы.

• В точках \( x = -2 \) и \( x = 4 \) знаменатель равен нулю, и выражение не определено.
• В точке \( x = 2 \) числитель равен нулю, и выражение равно \( 0 \).

Шаг 6: Определяем решения неравенства.

\[ (x \in [2, 4)), \text{ где выражение }\leq 0. \]

Шаг 7: Найдем натуральные числа на этом промежутке.

Натуральные числа на \( [2, 4) \) — это \( 2 \) и \( 3 \).

Ответ:

Количество натуральных чисел, являющихся решениями неравенства: \( \boxed{2} \).