Решите неравенство. В ответ запишите количество натуральных чисел, являющихся решениями данного неравенства.

Чтобы решить неравенство \[ \frac{x^2 - 4}{(x+2)(x-4)} \leq 0, \] следуем шагам: ### Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя. 1. **Числитель:** \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \). - Нули: \( x = 2 \) и \( x = -2 \). 2. **Знаменатель:** \( (x+2)(x-4) \). - Нули: \( x = -2 \) и \( x = 4 \). ### Шаг 2: Найдем критические точки. Критические точки: \( x = -2, 2, 4 \). ### Шаг 3: Разделим числовую прямую на интервалы. Эти точки делят числовую прямую на интервалы: - \( (-\infty, -2) \) - \( (-2, 2) \) - \( (2, 4) \) - \( (4, \infty) \) ### Шаг 4: Проверим знак выражения на каждом интервале. 1. **Интервал \( (-\infty, -2) \):** Возьмём \( x = -3 \): \(\frac{(-3-2)(-3+2)}{(-3+2)(-3-4)} = \frac{(-5)(-1)}{(-1)(-7)} > 0\). 2. **Интервал \( (-2, 2) \):** Возьмём \( x = 0 \): \(\frac{(0-2)(0+2)}{(0+2)(0-4)} = \frac{(-2)(2)}{(2)(-4)} > 0\). 3. **Интервал \( (2, 4) \):** Возьмём \( x = 3 \): \(\frac{(3-2)(3+2)}{(3+2)(3-4)} = \frac{(1)(5)}{(5)(-1)} < 0\). 4. **Интервал \( (4, \infty) \):** Возьмём \( x = 5 \): \(\frac{(5-2)(5+2)}{(5+2)(5-4)} > 0\). ### Шаг 5: Учитываем границы. - В точках \( x = -2 \) и \( x = 4 \) знаменатель равен нулю, и выражение не определено. - В точке \( x = 2 \) числитель равен нулю, и выражение равно \( 0 \). ### Шаг 6: Определяем решения неравенства. \[ (x \in [2, 4)), \text{ где выражение }\leq 0. \] ### Шаг 7: Найдем натуральные числа на этом промежутке. Натуральные числа на \( [2, 4) \) — это \( 2 \) и \( 3 \). ### Ответ: Количество натуральных чисел, являющихся решениями неравенства: \( \boxed{2} \).