Рёбра прямоугольного параллелепипеда относятся как a:b:c=1:2:4. Вычислите длины рёбер, если объём прямоугольного параллелепипеда равен 1000 см³.
Для решения задачи начнём с того, что у нас есть прямоугольный параллелепипед, у которого рёбра относятся как \( a : b : c = 1 : 2 : 4 \). Это означает, что можно выразить длины рёбер через одну переменную.
Обозначим:
- \( a = x \)
- \( b = 2x \)
- \( c = 4x \)
Теперь найдём объём прямоугольного параллелепипеда. Формула для вычисления объёма параллелепипеда выглядит следующим образом:
\[ V = a \cdot b \cdot c \]
Подставим наши выражения для рёбер в формулу:
\[ V = x \cdot (2x) \cdot (4x) \]
Теперь посчитаем:
\[ V = x \cdot 2x \cdot 4x = 8x^3 \]
Из условия задачи известно, что объём \( V = 1000 \, \text{см}^3 \). Уравняем наше выражение для объёма к 1000:
\[ 8x^3 = 1000 \]
Теперь решим это уравнение для нахождения \( x \):
- Разделим обе стороны на 8:
\[ x^3 = \frac{1000}{8} = 125 \]
- Найдём корень кубический из обеих сторон:
\[ x = \sqrt[3]{125} = 5 \]
Теперь, имея значение \( x \), мы можем найти длины рёбер параллелепипеда:
- \( a = x = 5 \, \text{см} \)
- \( b = 2x = 2 \cdot 5 = 10 \, \text{см} \)
- \( c = 4x = 4 \cdot 5 = 20 \, \text{см} \)
Таким образом, длины рёбер прямоугольного параллелепипеда равны:
- \( a = 5 \, \text{см} \)
- \( b = 10 \, \text{см} \)
- \( c = 20 \, \text{см} \)
В итоге, чтобы подытожить, мы нашли длины рёбер параллелепипеда, используя соотношение и заданный объём.
