Для решения задачи начнём с того, что у нас есть прямоугольный параллелепипед, у которого рёбра относятся как ( a : b : c = 1 : 2 : 4 ). Это означает, что можно выразить длины рёбер через одну переменную.
Обозначим:
- ( a = x )
- ( b = 2x )
- ( c = 4x )
Теперь найдём объём прямоугольного параллелепипеда. Формула для вычисления объёма параллелепипеда выглядит следующим образом:
[
V = a \cdot b \cdot c
]
Подставим наши выражения для рёбер в формулу:
[
V = x \cdot (2x) \cdot (4x)
]
Теперь посчитаем:
[
V = x \cdot 2x \cdot 4x = 8x^3
]
Из условия задачи известно, что объём ( V = 1000 , \text{см}^3 ). Уравняем наше выражение для объёма к 1000:
[
8x^3 = 1000
]
Теперь решим это уравнение для нахождения ( x ):
- Разделим обе стороны на 8:
[
x^3 = \frac{1000}{8} = 125
]
- Найдём корень кубический из обеих сторон:
[
x = \sqrt[3]{125} = 5
]
Теперь, имея значение ( x ), мы можем найти длины рёбер параллелепипеда:
- ( a = x = 5 , \text{см} )
- ( b = 2x = 2 \cdot 5 = 10 , \text{см} )
- ( c = 4x = 4 \cdot 5 = 20 , \text{см} )
Таким образом, длины рёбер прямоугольного параллелепипеда равны:
- ( a = 5 , \text{см} )
- ( b = 10 , \text{см} )
- ( c = 20 , \text{см} )
В итоге, чтобы подытожить, мы нашли длины рёбер параллелепипеда, используя соотношение и заданный объём.
