Для решения задачи мы сначала выясним, какие данные нам известны, а затем составим уравнение для определения скорости течения реки.
Данные:
- Расстояние между пристанями: ( d = 8 ) км
- Скорость катера в стоячей воде: ( v_{катера} = 3 ) км/ч
- Время в пути: ( T_{всё} = 6 ) ч
- Время стоянки: ( T_{стояка} = 0.5 ) ч (30 мин)
Шаг 1: Найдём время, затраченное на движение
Так как у нас есть общее время в пути и время стоянки, мы можем найти время, затраченное на движение:
[
T_{движение} = T_{всё} - T_{стояка}
]
[
T_{движение} = 6 - 0.5 = 5.5 \text{ ч}
]
Шаг 2: Установим обозначения
Пусть скорость течения реки равна ( v_{течения} ) км/ч.
При движении по течению (вниз по реке) катер двигается с эффективной скоростью:
[
v_{вниз} = v_{катера} + v_{течения} = 3 + v_{течения}
]
При движении против течения (вверх по реке) катер двигается с эффективной скоростью:
[
v_{вверх} = v_{катера} - v_{течения} = 3 - v_{течения}
]
Шаг 3: Составим уравнение
Время, затраченное на путь вниз по течению, и время, затраченное на путь вверх против течения, можно выразить через расстояние и скорость:
[
T_{вниз} = \frac{d}{v_{вниз}} = \frac{8}{3 + v_{течения}}
]
[
T_{вверх} = \frac{d}{v_{вверх}} = \frac{8}{3 - v_{течения}}
]
Итак, общее время движения можно записать как:
[
T_{движение} = T_{вниз} + T_{вверх}
]
[
5.5 = \frac{8}{3 + v_{течения}} + \frac{8}{3 - v_{течения}}
]
Шаг 4: Нахождение общего уравнения
Умножим обе стороны уравнения на ((3 + v_{течения})(3 - v_{течения})) для очистки от дробей:
[
5.5(3 + v_{течения})(3 - v_{течения}) = 8(3 - v_{течения}) + 8(3 + v_{течения})
]
Шаг 5: Упрощение
Сначала упростим правую часть:
[
5.5(9 - v_{течения}^2) = 24 + 8v_{течения} + 24 - 8v_{течения}
]
[
5.5(9 - v_{течения}^2) = 48
]
Теперь раскроем скобки:
[
49.5 - 5.5v_{течения}^2 = 48
]
[
-5.5v_{течения}^2 = 48 - 49.5
]
[
-5.5v_{течения}^2 = -1.5
]
[
v_{течения}^2 = \frac{-1.5}{-5.5} = \frac{1.5}{5.5} = \frac{3}{11}
]
Шаг 6: Находим скорость течения
Теперь возьмем квадратный корень из обеих сторон:
[
v_{течения} = \sqrt{\frac{3}{11}}
]
Шаг 7: Преобразуем и найдём значение
Теперь рассчитаем значение:
(
v_{течения} \approx \sqrt{0.2727} \approx 0.52 \text{ км/ч (округляя)}
)
Окончательный ответ:
Скорость течения реки приблизительно равна 0.52 км/ч.
