Туристы решили прокатиться на катере по Амазонке. Катер с туристами прошёл от одной пристани до другой, сделал стоянку на 30 мин 1 и вернулся обратно. Весь путь занял 6- часа. 2…

Для решения задачи мы сначала выясним, какие данные нам известны, а затем составим уравнение для определения скорости течения реки.

Данные:

• Расстояние между пристанями: \( d = 8 \) км
• Скорость катера в стоячей воде: \( v_{катера} = 3 \) км/ч
• Время в пути: \( T_{всё} = 6 \) ч
• Время стоянки: \( T_{стояка} = 0.5 \) ч (30 мин)

Шаг 1: Найдём время, затраченное на движение

Так как у нас есть общее время в пути и время стоянки, мы можем найти время, затраченное на движение:

\[ T_{движение} = T_{всё} - T_{стояка} \] \[ T_{движение} = 6 - 0.5 = 5.5 \text{ ч} \]

Шаг 2: Установим обозначения

Пусть скорость течения реки равна \( v_{течения} \) км/ч.

При движении по течению (вниз по реке) катер двигается с эффективной скоростью:

\[ v_{вниз} = v_{катера} + v_{течения} = 3 + v_{течения} \]

При движении против течения (вверх по реке) катер двигается с эффективной скоростью:

\[ v_{вверх} = v_{катера} - v_{течения} = 3 - v_{течения} \]

Шаг 3: Составим уравнение

Время, затраченное на путь вниз по течению, и время, затраченное на путь вверх против течения, можно выразить через расстояние и скорость:

\[ T_{вниз} = \frac{d}{v_{вниз}} = \frac{8}{3 + v_{течения}} \]

\[ T_{вверх} = \frac{d}{v_{вверх}} = \frac{8}{3 - v_{течения}} \]

Итак, общее время движения можно записать как:

\[ T_{движение} = T_{вниз} + T_{вверх} \] \[ 5.5 = \frac{8}{3 + v_{течения}} + \frac{8}{3 - v_{течения}} \]

Шаг 4: Нахождение общего уравнения

Умножим обе стороны уравнения на \((3 + v_{течения})(3 - v_{течения})\) для очистки от дробей:

\[ 5.5(3 + v_{течения})(3 - v_{течения}) = 8(3 - v_{течения}) + 8(3 + v_{течения}) \]

Шаг 5: Упрощение

Сначала упростим правую часть:

\[ 5.5(9 - v_{течения}^2) = 24 + 8v_{течения} + 24 - 8v_{течения} \] \[ 5.5(9 - v_{течения}^2) = 48 \]

Теперь раскроем скобки:

\[ 49.5 - 5.5v_{течения}^2 = 48 \] \[ -5.5v_{течения}^2 = 48 - 49.5 \] \[ -5.5v_{течения}^2 = -1.5 \] \[ v_{течения}^2 = \frac{-1.5}{-5.5} = \frac{1.5}{5.5} = \frac{3}{11} \]

Шаг 6: Находим скорость течения

Теперь возьмем квадратный корень из обеих сторон:

\[ v_{течения} = \sqrt{\frac{3}{11}} \]

Шаг 7: Преобразуем и найдём значение

Теперь рассчитаем значение:

\( v_{течения} \approx \sqrt{0.2727} \approx 0.52 \text{ км/ч (округляя)} \)

Окончательный ответ:

Скорость течения реки приблизительно равна 0.52 км/ч.