√7tga*sin(3П/2-a) при sina=√7/5

Чтобы решить задачу \( \sqrt{7} \cdot \tan(a) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} - a\right) \), зная, что \( \sin(a) = \frac{\sqrt{7}}{5} \), нам нужно сначала разложить выражение шаг за шагом.

Шаг 1: Находим \( \sin\left(\frac{3\pi}{2} - a\right) \)

Используем формулу для синуса разности углов:

\[ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - a\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \cos(a) - \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) \sin(a) \]

Значения:

• \( \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 \)
• \( \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 \)

Подставим эти значения в формулу:

\[ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - a\right) = (-1) \cdot \cos(a) - 0 \cdot \sin(a) = -\cos(a) \]

Шаг 2: Находим \( \cos(a) \)

Мы знаем, что: \[ \sin^2(a) + \cos^2(a) = 1 \] Подставим значение \( \sin(a) \):

\[ \left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)^2 + \cos^2(a) = 1 \]

Это упрощается до:

\[ \frac{7}{25} + \cos^2(a) = 1 \]

Решим это уравнение для \( \cos^2(a) \):

\[ \cos^2(a) = 1 - \frac{7}{25} = \frac{25}{25} - \frac{7}{25} = \frac{18}{25} \]

Теперь найдем \( \cos(a) \):

\[ \cos(a) = \pm \sqrt{\frac{18}{25}} = \pm \frac{\sqrt{18}}{5} = \pm \frac{3\sqrt{2}}{5} \]

Шаг 3: Находим \( \tan(a) \)

Теперь найдем тангенс:

\[ \tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{5}}{\pm \frac{3\sqrt{2}}{5}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{3\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{14}}{6} \]

Шаг 4: Подставляем все значения в исходное выражение

Теперь подставим всё в исходное выражение:

\[ \sqrt{7} \cdot \tan(a) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} - a\right) = \sqrt{7} \cdot \left(\pm \frac{\sqrt{14}}{6}\right) \cdot (-\cos(a)) \]

Так как \( \sin\left(\frac{3\pi}{2} - a\right) = -\cos(a) \):

\[ = \sqrt{7} \cdot \left(\pm \frac{\sqrt{14}}{6}\right) \cdot \left(-\pm \frac{3\sqrt{2}}{5}\right) \]

Теперь упростим:

\[ = \sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{14}}{6} \cdot \left(-\frac{3\sqrt{2}}{5}\right) \]

Итоговое решение

После упрощения мы получаем:

\[ = -\frac{3\sqrt{7 \cdot 14 \cdot 2}}{30} = -\frac{3\sqrt{196}}{30} = -\frac{3 \cdot 14}{30} = -\frac{42}{30} = -\frac{7}{5} \]

Таким образом, конечный ответ:

\[ \sqrt{7} \cdot \tan(a) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} - a\right) = -\frac{7}{5} \]