Найдите объём данного параллелепипеда. Площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда равна 75 см²; стороны основания равны 7 см и 24 см (см. рис.5).

Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, воспользуемся известными размерами и свойствами диагонального сечения.

1. Дано:

   • Стороны основания \( a = 7 \) см и \( b = 24 \) см.
   • Площадь диагонального сечения \( S = 75 \) см².

2. Обозначим:

   • Высота параллелепипеда \( h \).

3. Найдем диагональное сечение:

   • Диагональным сечением в данном случае будет прямоугольник. Его стороны равны диагонали основания \( d \) и высоте \( h \).

4. Найдём диагональ основания:

   • Диагональ основания \( d \) можно найти по формуле: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \] Подставим данные: \[ d = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \, \text{см} \]

5. Площадь диагонального сечения:

   • Площадь диагонального сечения равна произведению диагонали основания и высоты: \[ S = d \cdot h \] Подставим известные величины и решим относительно \( h \): \[ 75 = 25 \cdot h \] \[ h = \frac{75}{25} = 3 \, \text{см} \]

6. Вычислим объём параллелепипеда:

   • Объём \( V \) прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \[ V = a \cdot b \cdot h \] Подставим все значения: \[ V = 7 \cdot 24 \cdot 3 = 504 \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объём данного прямоугольного параллелепипеда составляет \( 504 \) кубических сантиметра.