решите систему управления {х-у=-2 {х²-у²=20
Чтобы решить систему уравнений
\[ \begin{cases} x - y = -2 \quad (1) \\ x^2 - y^2 = 20 \quad (2) \end{cases} \]
начнем с того, что у нас есть два уравнения. Первое уравнение (1) можно обработать для выражения одной переменной через другую.
Шаг 1: Выразим y через x
Сначала выразим \( y \) из первого уравнения:
\[ x - y = -2 \\ y = x + 2 \]
Шаг 2: Подставим y во второе уравнение
Теперь подставим найденное значение \( y \) во второе уравнение (2):
\[ x^2 - (x + 2)^2 = 20 \]
Решим это уравнение. Сначала расширим квадрат:
\[ x^2 - (x^2 + 4x + 4) = 20 \\ x^2 - x^2 - 4x - 4 = 20 \]
Упростим уравнение:
\[ -4x - 4 = 20 \]
Шаг 3: Перепишем уравнение
Теперь перенесем 20 на другую сторону:
\[ -4x - 4 - 20 = 0 \\ -4x - 24 = 0 \]
Шаг 4: Решим уравнение для x
Теперь решим уравнение относительно \( x \):
\[ -4x = 24 \\ x = -6 \]
Шаг 5: Найдем y
Теперь подставим найденное значение \( x \) обратно в выражение для \( y \):
\[ y = x + 2 \\ y = -6 + 2 \\ y = -4 \]
Итоговые значения
Мы нашли решение системы:
\[ (x, y) = (-6, -4) \]
Проверка
Подставим в первое уравнение: \[ -6 - (-4) = -6 + 4 = -2 \quad \text{(всё верно)} \]
Подставим в второе уравнение: \[ (-6)^2 - (-4)^2 = 36 - 16 = 20 \quad \text{(всё верно)} \]
Таким образом, решение системы уравнений подтверждено.
Ответ: \( (x, y) = (-6, -4) \)
