Чтобы решить систему уравнений
[
\begin{cases}
x - y = -2 \quad (1) \
x^2 - y^2 = 20 \quad (2)
\end{cases}
]
начнем с того, что у нас есть два уравнения. Первое уравнение (1) можно обработать для выражения одной переменной через другую.
Шаг 1: Выразим y через x
Сначала выразим ( y ) из первого уравнения:
[
x - y = -2 \
y = x + 2
]
Шаг 2: Подставим y во второе уравнение
Теперь подставим найденное значение ( y ) во второе уравнение (2):
[
x^2 - (x + 2)^2 = 20
]
Решим это уравнение. Сначала расширим квадрат:
[
x^2 - (x^2 + 4x + 4) = 20 \
x^2 - x^2 - 4x - 4 = 20
]
Упростим уравнение:
[
-4x - 4 = 20
]
Шаг 3: Перепишем уравнение
Теперь перенесем 20 на другую сторону:
[
-4x - 4 - 20 = 0 \
-4x - 24 = 0
]
Шаг 4: Решим уравнение для x
Теперь решим уравнение относительно ( x ):
[
-4x = 24 \
x = -6
]
Шаг 5: Найдем y
Теперь подставим найденное значение ( x ) обратно в выражение для ( y ):
[
y = x + 2 \
y = -6 + 2 \
y = -4
]
Итоговые значения
Мы нашли решение системы:
[
(x, y) = (-6, -4)
]
Проверка
Подставим в первое уравнение:
[
-6 - (-4) = -6 + 4 = -2 \quad \text{(всё верно)}
]
Подставим в второе уравнение:
[
(-6)^2 - (-4)^2 = 36 - 16 = 20 \quad \text{(всё верно)}
]
Таким образом, решение системы уравнений подтверждено.
Ответ: ( (x, y) = (-6, -4) )
