Для решения данной задачи давайте разберем ее на части и выполним все действия шаг за шагом.
Вводные данные:
- Расстояние вниз по течению (к стоянке): 63 км
- Время на экскурсию: 8 часов
- Скорость течения реки: 1 км/ч
- Длительность всей поездки: 24 часа
Цель:
Найти скорость теплохода против течения.
Определение переменных:
- Обозначим скорость теплохода в стоячей воде как v км/ч.
- Тогда скорость теплохода по течению (вниз) будет (v + 1) км/ч.
- А скорость теплохода против течения (вверх) будет (v - 1) км/ч.
Шаг 1: Время в пути
Время движения вниз по течению:
Чтобы найти время, затраченное на путь вниз по течению, используем формулу:
[
t_1 = \frac{S}{V} = \frac{63}{v + 1}
]
Время движения вверх по течению:
Поскольку теплоход вернулся обратно на то же расстояние, то время в пути против течения будет:
[
t_2 = \frac{S}{V} = \frac{63}{v - 1}
]
Шаг 2: Общее время путешествия
Общее время путешествия составляет 24 часа.
При этом время на экскурсию (8 часов) также следует учесть.
Таким образом, у нас есть уравнение:
[
t_1 + t_2 + 8 = 24
]
Подставим значения:
[
\frac{63}{v + 1} + \frac{63}{v - 1} + 8 = 24
]
Шаг 3: Упростим уравнение
Упростим уравнение:
[
\frac{63}{v + 1} + \frac{63}{v - 1} = 16
]
Шаг 4: Найдем общее отношение
Для упрощения давайте найдем общую дробь:
[
\frac{63(v - 1) + 63(v + 1)}{(v + 1)(v - 1)} = 16
]
Упрощая числитель, получаем:
[
\frac{63v - 63 + 63v + 63}{(v + 1)(v - 1)} = 16
]
[
\frac{126v}{(v + 1)(v - 1)} = 16
]
Шаг 5: Умножим на знаменатель
Умножим обе стороны на ((v + 1)(v - 1)):
[
126v = 16(v^2 - 1)
]
[
126v = 16v^2 - 16
]
Шаг 6: Переносим все в одну сторону
Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
[
16v^2 - 126v - 16 = 0
]
Шаг 7: Решим квадратное уравнение
Используем дискриминант для решения:
[
D = b^2 - 4ac = (-126)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-16)
]
[
D = 15876 + 1024 = 16800
]
Теперь найдем корни:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{126 \pm \sqrt{16800}}{32}
]
Выясним значение (\sqrt{16800}):
[
\sqrt{16800} \approx 129.66
]
Теперь подставим в формулу:
[
v = \frac{126 \pm 129.66}{32}
]
Решения:
- (v_1 = \frac{255.66}{32} \approx 7.99 , \text{км/ч})
- (v_2 = \frac{-3.66}{32} \text{ (отрицательное значение не подходит)})
Шаг 8: Подсчитаем скорость против течения
Теперь мы знаем, что скорость теплохода в стоячей воде:
[
v \approx 7.99 , \text{км/ч}
]
Следовательно, скорость против течения:
[
v - 1 \approx 6.99 , \text{км/ч}
]
Ответ:
Скорость теплохода против течения составляет примерно 7 км/ч.
