постройте график функцииу=-х²-2х+8

Для того чтобы построить график функции \( y = -x^2 - 2x + 8 \), давайте разберёмся с этой квадратной функцией и выполним все необходимые шаги.

Шаг 1: Определение типа функции

Данная функция является квадратичной, так как её общий вид — \( y = ax^2 + bx + c \), где:

• \( a = -1 \) (коэффициент при \( x^2 \))
• \( b = -2 \) (коэффициент при \( x \))
• \( c = 8 \) (свободный член)

Так как \( a < 0 \), график будет представлять собой параболу, направленную вниз.

Шаг 2: Нахождение вершинной точки

Чтобы найти вершину параболы, используем формулу: \[ x_{вершины} = -\frac{b}{2a} \] Подставим наши значения: \[ x_{вершины} = -\frac{-2}{2 \cdot -1} = \frac{2}{-2} = -1 \]

Теперь подставим найденное значение \( x_{вершины} \) в уравнение функции, чтобы найти значение \( y \): \[ y_{вершины} = -(-1)^2 - 2(-1) + 8 \] \[ y_{вершины} = -1 + 2 + 8 = 9 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (-1, 9) \).

Шаг 3: Нахождение пересечений с осями

1. Пересечение с осью \( y \): Для нахождения пересечения с осью \( y \) подставляем \( x = 0 \): \[ y = -0^2 - 2(0) + 8 = 8 \] Таким образом, точка пересечения с осью \( y \) — это \( (0, 8) \).

2. Пересечение с осью \( x \): Для нахождения пересечений с осью \( x \) приравниваем \( y \) к нулю: \[ -x^2 - 2x + 8 = 0 \] Умножим уравнение на -1 для упрощения: \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \] Используем формулу решения квадратных уравнений: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставим значения \( a = 1, b = 2, c = -8 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm 6}{2} \] Давайте найдём корни: \[ x_1 = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \] Таким образом, точки пересечения с осью \( x \) — это \( (2, 0) \) и \( (-4, 0) \).

Шаг 4: Построение графика

Теперь мы можем построить график функции, используя следующую информацию:

• Вершина параболы: точка \( (-1, 9) \)
• Пересечение с осью \( y \): точка \( (0, 8) \)
• Пересечения с осью \( x \): точки \( (2, 0) \) и \( (-4, 0) \)

Шаг 5: Рисуем график

1. Нанесите точки на координатную плоскость:
   • Вертикальная ось — \( y \)
   • Горизонтальная ось — \( x \)
2. Обозначьте точки: \( (-1, 9) \), \( (0, 8) \), \( (2, 0) \), \( (-4, 0) \).
3. Проведите плавную кривую, представляющую параболу, которая открыта вниз.

Заключение

Теперь у вас есть график функции \( y = -x^2 - 2x + 8 \), а также все важные его характеристики!