. На полке стоит 10 книг - 4 детектива и 6 фантастик. Найдите вероятность того, что из 5 взятых книг будет 3 детектива и 2 фантастики.
Чтобы найти вероятность того, что из 5 взятых книг будет 3 детектива и 2 фантастики, воспользуемся комбинаторикой.
Шаг 1: Определим общее количество книг
На полке у нас есть:
- 4 детективные книги
- 6 фантастических книг
Итого: \( 4 + 6 = 10 \) книг.
Шаг 2: Определим, сколько книг мы берем
Мы будем выбирать 5 книг, из которых 3 должны быть детективами, а 2 - фантастиками.
Шаг 3: Найдем количество способов выбрать книги
Мы можем использовать сочетания для расчета количества способов выбора книг.
Количество способов выбрать 3 детективные книги из 4: \[ C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \times 3!}{3! \cdot 1} = 4 \]
Количество способов выбрать 2 фантастические книги из 6: \[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]
Шаг 4: Найдем общее количество способов выбрать 5 книг
Теперь нам нужно умножить оба полученных значения, чтобы найти общее количество вариантов, в которых можно выбрать 3 детективные и 2 фантастические книги: \[ C(4, 3) \times C(6, 2) = 4 \times 15 = 60 \]
Шаг 5: Найдем общее количество способов выбрать любые 5 книг из 10
Теперь нужно найти общее количество способов выбрать любые 5 книг из 10: \[ C(10, 5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252 \]
Шаг 6: Найдем вероятность
Вероятность того, что из 5 взятых книг будет 3 детектива и 2 фантастики, рассчитывается по формуле: \[ P = \frac{\text{Количество благоприятных случаев}}{\text{Общее количество случаев}} = \frac{C(4, 3) \times C(6, 2)}{C(10, 5)} = \frac{60}{252} \]
Шаг 7: Упростим дробь
Упростим дробь \( \frac{60}{252} \): \[ \frac{60 \div 12}{252 \div 12} = \frac{5}{21} \]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что из 5 взятых книг будет 3 детектива и 2 фантастики, составляет \( \frac{5}{21} \).
