Участников школьной олимпиады 70 чел., и из них необходимо выбрать 2 для участия в городском этапе. Сколькими способами это можно сделать?

Чтобы решить задачу выбора 2 участников из 70, мы используем формулу комбинаторики для вычисления сочетаний. Сочетания — это способ выбрать группу элементов из более крупной группы, где порядок не имеет значения.

Формула для вычисления количества сочетаний выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \(C(n, k)\) — количество сочетаний (то есть способов выбрать \(k\) элементов из \(n\)),
• \(n\) — общее количество элементов (в данном случае 70 участников),
• \(k\) — количество выбираемых элементов (в данном случае 2 участника),
• \(n!\) (n факториал) — произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\).

В нашей задаче:

• \(n = 70\)
• \(k = 2\)

Подставляем значения в формулу:

\[ C(70, 2) = \frac{70!}{2!(70-2)!} = \frac{70!}{2! \cdot 68!} \]

Теперь заметим, что \(70!\) можно разложить следующим образом:

\[ 70! = 70 \times 69 \times 68! \]

Таким образом, мы можем упростить выражение:

\[ C(70, 2) = \frac{70 \times 69 \times 68!}{2! \cdot 68!} \]

Сократив \(68!\) в числителе и знаменателе, получаем:

\[ C(70, 2) = \frac{70 \times 69}{2!} \]

Теперь подставим значение факториала \(2!\):

\[ 2! = 2 \times 1 = 2 \]

Тогда наше выражение станет:

\[ C(70, 2) = \frac{70 \times 69}{2} \]

Теперь рассчитываем:

\[ 70 \times 69 = 4830 \]

И делим на 2:

\[ \frac{4830}{2} = 2415 \]

Таким образом, количество способов выбрать 2 участников из 70 равно 2415.

Это и есть окончательный ответ на задачу.