1/(4 ⋅ 5)+ 1/(5 ⋅ 6)+ 1/(6 ⋅ 7 )+ ... + 1/(48 ⋅ 49)

Давайте решим задачу шаг за шагом. Мы хотим найти результат суммы: \[ S = \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{48 \cdot 49} \] ### Шаг 1: Общая форма члена суммы Каждый член данной суммы можно выразить как: \[ \frac{1}{n \cdot (n+1)} \] где \( n \) принимает значения от 4 до 48. ### Шаг 2: Упрощение члена Мы можем использовать разложение на простейшие дроби. Мы знаем, что: \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \] Таким образом, мы можем переписать каждый член суммы: \[ \frac{1}{n \cdot (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \] ### Шаг 3: Подстановка в сумму Теперь подставим это в нашу сумму: \[ S = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\right) + \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{7}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{48} - \frac{1}{49}\right) \] ### Шаг 4: Упрощение суммы Когда мы складываем все эти дроби, мы увидим, что многие члены сокращаются: - \(\frac{1}{5}\) из первого слагаемого сокращается с \(-\frac{1}{5}\) из второго. - \(\frac{1}{6}\) из второго слагаемого сокращается с \(-\frac{1}{6}\) из третьего. Таким образом, мы получаем: \[ S = \frac{1}{4} - \frac{1}{49} \] ### Шаг 5: Подсчет оставшихся членов Теперь осталось сделать простое вычисление: \[ S = \frac{1}{4} - \frac{1}{49} \] Чтобы сделать вычитание, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 4 и 49 равен 196: \[ \frac{1}{4} = \frac{49}{196}, \quad \text{и} \quad \frac{1}{49} = \frac{4}{196} \] Теперь мы можем подставить эти значения: \[ S = \frac{49}{196} - \frac{4}{196} = \frac{45}{196} \] ### Итог Таким образом, сумма \( S \) оказывается равной: \[ \boxed{\frac{45}{196}} \] Эти шаги помогут вам понять, как упрощается сумма и как выражения можно переформулировать для более простого вычисления.