Почтальон Печкин поехал навстречу родителям Дяди Федора на своем велосипеде. Колеса его велосипеда одинаковы и украшены тонкими красными кольцами (см. рисунок). В самом начале…

Давайте подробно разберём задачу, шаг за шагом.

Дано:

• Частота вращения колёс \( f = 2 \) об/с.
• Радиус колеса \( R = 0,5 \) м.
• Расстояние между центрами колёс \( d = 1,5 \) м.

Шаг 1: Определение угловой скорости колеса

Сначала найдем угловую скорость колеса (\( \omega \)). Она связана с частотой вращения следующим образом: \[ \omega = 2 \pi f \] Подставим значение частоты: \[ \omega = 2 \pi \cdot 2 = 4 \pi \text{ рад/с} \]

Шаг 2: Понимание движения колёс

Сейчас рассмотрим, как движутся красные кольца на колёсах. В начале:

• Переднее колесо: кольцо на переднем колесе находится в позиции А (крайнее правое положение).
• Заднее колесо: кольцо на заднем колесе находится в позиции В (нижняя точка).

Когда колеса вращаются, кольца будут двигаться по окружности колеса.

Шаг 3: Положение колец в зависимости от времени

• Расстояние, пройденное каждой точкой на колесе за время \( t \) равно \( s = R \alpha \), где \( \alpha = \omega t \) — угол поворота.

Для кольца на переднем колесе:

• Начальная позиция: A (0 радиан).
• Позиция в любой момент времени: \[ \theta_{переднего} = 0 + \omega t \]

Для кольца на заднем колесе (начиная с позиции В, т.е. с 3π/2 радиан):

• Начальная позиция: B (\( 3\pi/2 \) радиан).
• Позиция в любой момент времени: \[ \theta_{заднего} = \frac{3\pi}{2} + \omega t \]

Шаг 4: Определение расстояния между кольцами

Чтобы определить расстояние между кольцами, нам нужно учитывать их положения и расстояние между центрами колес. Рассмотрим координаты каждого кольца:

• Кольцо на переднем колесе: \[ x_{переднего} = d_{переднего} \cos(\theta_{переднего}), \quad y_{переднего} = d_{переднего} \sin(\theta_{переднего}) \]

Где \( d_{переднего} = 1,5 \text{ м} \).

• Кольцо на заднем колесе: \[ x_{заднего} = d_{заднего} \cos(\theta_{заднего}), \quad y_{заднего} = d_{заднего} \sin(\theta_{заднего}) \]

Где \( d_{заднего} = 0 \) (положение на оси y).

Расстояние между кольцами: \[ D(t) = \sqrt{(x_{переднего} - x_{заднего})^2 + (y_{переднего} - y_{заднего})^2} \]

Шаг 5: Нахождение максимального расстояния

Чтобы найти максимальное расстояние, нам нужно минимизировать \( D^2 \). Для этого распределим: \[ D^2(t) = (1.5 \cos(\omega t))^2 + (0.5 + 1.5 \sin(\omega t))^2 \]

Таким образом, мы можем найти производную и установить \( D(t) \) на максимум.

Шаг 6: Поиск времени

Максимальное значение расстояния достигнется, когда \( \sin(\omega t) = 1 \) (т.е., когда кольца будут на максимальном расстоянии).

\[ \omega t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \quad (где n \in \mathbb{Z}) \] Для первого максимума: \[ \frac{\pi}{2} = 4 \pi t \Rightarrow t = \frac{1}{8} \text{ секунды} \]

Шаг 7: Преобразование времени в миллисекунды

Теперь преобразуем секунды в миллисекунды: \[ t = \frac{1}{8} \text{ с} = 125 \text{ мс} \]

Ответ

Наименьший промежуток времени, когда кольца будут на самом дальнем расстоянии друг от друга, составляет 125 мс.